Оценка погрешности кубатурных формул общего вида с узлами на ньютоновской решетке в пространствах Соболева Wmp(En)

• Автор: Урбаханов, Александр Валерьевич
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Улан-Удэ
• Количество страниц: 97 с.

РАЗДЕЛ I. Построение эрмитовых кубатурных формул

1.1 Пространства IV(Еп), Ьтр(Еп)

1.2 Элементарные квадратурные формулы общего вида

1.3 Периодические функционалы погрешности квадратурной формулы общего вида

1.4 Элементарные кубатурные формулы общего вида и периодические функционалы погрешности
1.5 Построение кубатурной формулы общего вида с пограничным слоем при п = 2, (7 = 1,сг = 2

РАЗДЕЛ II. Оценка нормы функционала погрешности

2.1 Общий вид функционала погрешности кубатурной формулы в пространстве [Еп)

2.2 Норма периодического функционала погрешности кубатурной формулы общего вида

2.3 Оценка сверху нормы функционала погрешности с регулярным пограничным слоем

2.4 Оценка снизу нормы функционала погрешности кубатурной формулы общего вида

2.5 Асимптотическая оптимальность нормы функционала погрешности
кубатурной формулы общего вида в IV ” [Еп) •
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА

Основная задача многомерного приближенного интегрирования состоит в отыскании с заданной точностью интеграла
(*) = <р{х)с1х = ха {х)(р(х)с1х, (1)
а е„
где х - точка и-мерного пространства Еп, %п(х) - характеристическая функция ограниченной области интегрирования О с кусочно-гладкой границей Г = Г(о) и функция (р{х) непрерывна в замыкании области О.
Многомерный интеграл (1) приближенно выражается суммой
<р{х)ск = £ ^СакОа(р{х{к)

(2)
узлы, С“
дх?1дх%2 ...дх“"
коэффициенты формулы (2), N - число узлов и а - порядок старшей производной, входящей в формулу (2).
Формулу (2) будем называть кубатурной формулой общего вида. Погрешность кубатурной формулы общего вида (2) определяется равенством
Л= |р(д:)&-£
о к=\сс<а
В данной работе рассматривается пространство С.Л. Соболева 1 < р < 00 с нормой
. р
1И*)Ц;
и №р*(Еп) - сопряженное пространство к пространству IV (Еп ).
" г !«!•' Оа(р{х) р сЬс
Епа<т а-
Условие вложения в Са имеет вид

рт > п, р(т -|£|) > п, (3)
где |5| < сг, - мультииндекс.
Функционал погрешности кубатурной формулы общего вида

к=\а<а
является линейным непрерывным функционалом в пространстве IV” и его норма определяется формулой
'^(Р

(0х),у(х)р |
(р{х)(1х
(4)
—= БиР (1П’<р)
<Р*0 Щ№т Ми =1
= <1.
(5)
Введем обозначения: Вт = у є Еп,0 < у і < т, і = 1,2 п,^Гі £

і=і
ньютоновская система узлов, - множество индексов а значений функции и
ее производных порядка не выше <7-т-

1Р
-1 и Васр{х) - совокупность
значений функции и её производных в одной точке.
Рассмотрим кубатурную формулу общего вида с ньютоновской системой узлов для фундаментального куба А
ср(х)ск = Е Е Сг °а<р(г) (6)
Д гев„, аєВ1
и функционал погрешности формулы (6)
хЛх)- У усД-і^в^-г)
уеВтаеВ
(р(х)с1х.
(7)
Данная диссертация посвящена исследованиям кубатурных формул общего вида с ньютоновской системой узлов и некоторых вопросов, связанных с реализациями функционалов общего вида, вычислениям норм функционалов и применениям этих реализаций к исследованиям функционалов погрешности кубатурных формул общего вида.

(р{х)ск ■■ О.
Е Е с“оа<р{х )
(7 '

(2.1.1)
ху е а <=
и функционал погрешности формулы (2.1.1) определяется равенством
/£(*),?>(*))

ХП(*)~ Е Е С“(-1) ^Ваз(х-х)
X ей о<7 7 V ГУ
гр(х)с1х
(2.1.2)
Рассмотрим пространство Соболева с конечной нормой
а !
I е
£ |а| < т а • и 1
£>а(д(х)

(2.1.3)

В дальнейшем, для сокращения записи сумма Е 4-1- обозначается
<т а
aSm
суммой Е • |а| < т
Известно [71], что при рт>п и 0<|5|<т-— частная производная
/Егд(х) непрерывна и при а

V р]
-1 пространство ¥т вложено в
пространство непрерывно дифференцируемых функций Са[Е ). Условие вложения в Са имеет вид
м (У^сг. (2.1.4)
Предварительно отметим, что доказательства лемм и теоремы проводятся по схеме работы Шойнжурова Ц.Б. [71] и функционал погрешности общего
вида также обозначается через «(*) как и в [44], однако свертка