Разработка явного одношагового вложенного метода для систем структурно разделенных обыкновенных дифференциальных уравнений

• Автор: Еремин, Алексей Сергеевич
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 91 с. : ил.

Содержание
Введение
Глава 1. Использование структурных особенностей обыкновенного дифференциального уравнения

1.1. Использование независимости правой части от переменной интегрирования

1.2. 5-этаиная схема 5-го порядка точности

Глава 2. Расширение явного одношагового метода типа Рун-ге — Кутты на случай систем структурно разделяющихся обыкновенных дифференциальных уравнений

2.1. Структурные особенности систем обыкновенных дифференциальных уравнений

2.2. Метод интегрирования

2.3 Вложенные методы в рамках структурного подхода

Глава 3. Модификация теории помеченных деревьев для структурного метода решения систем ОДУ

3.1. Производные точного решения

3.2. Производные приближения к решению по структурному методу
3.3. Помеченные деревья
3.4. Алгоритм записи условия порядка по помеченному дереву
3.5. Условия пятого порядка структурного метода
Глава 4. Вложенный метод пятого порядка типа Дорманда
Принса
4.1. Упрощение системы условий порядка

4.2. Разрешение системы-следствия
4.3. Тестирование построенной расчётной схемы
Заключение
Литература

Введение
Актуальность темы. Практически все процессы в природе и жизни общества описываются с помощью дифференциальных уравнений. Сложность возникающих в математических моделях начальных и краевых задач не позволяет получать их аналитические решения. Численные методы интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений востребованы в любой области математики, имеющей дело с моделированием процессов — физических или социальных.
Последние пятьдесят лет можно охарактеризовать как период, в течение которого классические методы численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений (методы Адамса и другие многошаговые методы, методы Рунге — Кутты (РК), методы экстраполяции), приспособленные и развитые для ручного счета, пересматривались в соответствии с требованиями и новыми возможностями, продиктованными бурно развивающимися технологиями машинного счета.
Постоянному наращиванию мощностей ЭВМ соответствовала и общая тенденция расширения классов решаемых задач. Новые возможности решения более трудоёмких и сложных задач породили и массу проблем, связанных с устойчивостью и аппроксимацией разрабатываемых высокоэффективных и надежных алгоритмов численного интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений (СОДУ).
В этот период были выполнены фундаментальные исследования по устойчивости численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), теории конструирования и реализации методов интегрирования.
Так, в классе одношаговых методов за это время и способ вывода условий порядка (с помощью графического представления производных точного решения и приближения к нему в виде помеченных деревьев), и конструиро-
получим при h
пч_ Wodhf .MfV f.V
Ш)ги(У/ — cOw Q + о /О / . OujOwi 'я Ji / , aQwiwi "T д Jjf / aOwju)ii
dx dyn dyi
iiu(O) ~ ciw~J- + Xy aOwiwx +
ax ayo '
t£?l=l

Л /» Ш Q /* Ю
+ -Q—fi Giwiwi + "Л—fj Xl &iv)jWl > (3.10)
У* tui=l Уз Ш1
d f & f & f
jtu(O) = CJW~Q йТ/о aiw0wi + дТг/i X!/ ai№iu,i ду/г X атш-
tui=l Ш1=1 3 гих
Для нахождения значения третьей производной
С W = з/"„ + hfZ (3.11)
в точке ж (/г = 0) достаточно найти вторую производную /qw:
tn „2 2/ош , о„ 2/ow _ U lu I
/Ого — с0ш qx2 + «OjusuxiujIAJ +
s=0 wi=l
71 r>2 4* ш—1 ш
+ X! я—7Г- X! “ОмвиквциДЛ) J] a0u,su,2fc'2lU2(/i) + (3.12)
n о / го
+ X/ ”я7 Ху ao,«SWl k"Wl(h)-
6=0 w,=l
Отсюда выражение при h = 0 примет вид:
(Л2 л 02 г
СОш'Д + 2 Ху dxdy.JsC°W Ху a0>«-4'"i +
тг ~ гу—1 гу
"Ь / . 7 о fsifs2 / . QwsiW / . О-швшг "t" (3.13)
siL0dySldyS2
п л~е' гу
+ X! Д~ X! aOv>swi K'w, (0)-
6=0 ?xri=l
Теперь, используя полученные выражения (3.1) и (3.6), найдём условия, обеспечивающие равенство нулю коэффициентов разложения методической погрешности на шаге (2.9) до определённого порядка.