Численные методы решения специальных краевых задач для дифференциальных уравнений

• Автор: Курбанов, Исабала Али оглы
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Баку
• Количество страниц: 145 c. : ил

ГЛАВА I . СПЕЦИАЛЬНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

§ 1.1. Вспомогательные фанты

§ 1.2. Обобщенный метод итераций

§ 1.3. Метод последоЕательных подстановок

§ 1.4. Метод, использующий специальные операторы

§ 1.5. Метод конечных разностей

§ 1.6. Метод сеток. .

§ 1.7. Примеры

Глава II . СПЕЦИАЛЬНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

§ 2.1. Вспомогательные факты
§ 2.2. метод итераций
§ 2.3. Метод конечных разностей
§ 2.4. К численному решению нелокальных краевых
задач для квазилинейных эллиптических уравнений
§ 2.5. Примеры
ЛИТЕРАТУРА

Известно, что при математическом описании некоторых процессов в физике плазмы встречается новый класс краевых задач для эллиптических уравнений, в которых часть краевых условий задана в виде линейной комбинации значений искомого решения на разных участках области и границы. Такие краевые условия принято называть нелокальными краевыми условиями. Примером нелокальной краевой задачи может служить известная (см. 1 ) задача
да = о, -£<х*1, о*
U(x, 0) = Ц (х), Щх,<)= %(х), (1)
= , Uto.p
где т; ii=1t 2,5) - заданные непрерывные функции.
Задача (I) впервые поставлена и исследована в работе A.B. Бицадзе и А.А.Самарского [з J . Подобные задачи для других типов эллиптических уравнений были исследованы в работах Д.Г. Гордезиани [Ю]- [I2J, причем в работе CiQj метод доказательства существования решения можно использовать и как практический алгоритм для приближенного решения рассмотренных задач. В работе CI2J рассмотрена нелокальная краевая задача Бицадзе-Самарского для нелинейных эллиптических уравнений в случае произвольной области. Далее, в работе [ß J рассмотрены прямые разностные методы численного решения, а также итерационный процесс последовательных приближений для нахождения приближенного решения задачи типа Бицадзе-Самарского.

Для параболического уравнения нелокальная краевая задача исследована в работах С)-? 1 - Г20 3 ,139]^[2и ,[273.
Для уравнения смешанного'типа нелокальные краевые задачи типа Бицадзе-Самарского рассмотрены в работах С I ], С9Я, С9У]
Для уравнения третьего порядка нелокальные краевые задачи рассмотрены в работах [^33 ив С9 3 . Здесь изучаются
различные локальные и нелокальные краевые задачи, доказывается однозначная разрешимость этих задач.
В работе С^О] установлена связь между нелокальными задачами для дифференциальных уравнений основных типов и локальными краевыми задачами для нагруженных уравнений. Показано, что задача Бицадзе-Самарского редуцируется к задаче Дирихле для нагруженного уравнения.
В работе [16] в прямоугольной области О евклидова пространства рассмотрена задача Бицадзе-Самарского для уравнения Лапласа. Доказано, что эта задача имеет бесчисленное множество собственных значений, причем система собственных функций не является полной в Ц (-О.) , а присоединенные функции существуют не для каждого собственного значения.
В работе С 2 2 3 для уравнения Лапласа в круге & рассмат-г ривается нелокальная краевая задача, когда на одном участке границы задана производная искомой функции по направлению
нормали, а на другом участке известно соотношение от искомой функции. Доказывается однозначная разрешимость.
Одномерная задача Бицадзе-Самарского с нелокальным краевым условием более общего вида записывается в следующем виде:
у"= /(*, у, /'Л а-сх<.&,
У(а/ = й, $11) = + (2)
доказано.
Вторая часть леммы доказывается аналогично.
СЛЕДСТВИЕ І.5.І. Единственным решением задачи ) = 0 *
С — 0> I) • • •) ^ является = д
Таким образом, задача (1.5.3) однозначно разрешима при любых У?
Систему (1.5.3) можно решить методом прогонки
Сначала, как в обычном методе прогонки, решение ищем в виде
Уі - <Хі+і Уі+! +/і+і (1.5.4)
Прогоночные коэффициенты Лі_ , определяются подстановкой представления (1.5.4) в уравнение (1.5.3) при і = о,1,. ■ы- / , что дают формулы правой прогонки
/_ / з і/_ / (1.5.5)
Сі" ~ ~сГ7ГаГ ’ -
л • . _ СиРі + Рі , (1.5.6)
- 'Сі-лиц ’

Л( - §/( г 1ъА / (Ь+8 )
Теперь выражая У*с через У*/ в (1.5.4) и используя уравнение (1.5.3), при С - А/ получим
1-Г