Условия разрешимости и численные алгоритмы для решения линейных, полулинейных, квадратичных и полуторалинейных матричных уравнений

• Автор: Воронцов, Юрий Олегович
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 134 с. : ил.

Содержание

Список обозначений

Введение

Глава 1. Матричные уравнения

§1. Матричное уравнение Сильвестра

§2. Матричное уравнение Стейна

§3. Квадратичные матричные уравнения

Выводы
Глава 2. Матричные уравнения типа Сильвестра и Стейна. Условия разрешимости и численные алгоритмы

§1. Уравнения типа Сильвестра

§2. Уравнения, сопряженные уравнениям типа Сильвестра

§3. Уравнения типа Стейна
Выводы
Глава 3. Решение матричных уравнений в самосопряженном
случае
§1. Уравнения Сильвестра и Стейна
§2. Уравнения типа Сильвестра
§3. Уравнения типа Стейна
Выводы
Глава 4. Квадратичные и полуторалинейные матричные уравнения
Выводы
Заключение

Список литературы
Приложение. Функция ВЭТхахЬ
Приложение. Функция ВЭТхахЬвв

Список обозначений
R — поле вещественных чисел С — поле комплексных чисел
С” — арифметическое пространство размерности п над С
Мп(С) — пространство комплексных квадратных матриц порядка п
Mrn v (С) — пространство комплексных т х 7£-матриц
АфЛ) — собственные значения матрицы А
1п единичная матрица порядка п
./„(А) жорданова клетка, отвечающая собственному значению А ,7° — жорданова клетка, отвечающая собственному значению А = О А — матрица, полученная из А взятием поэлементного сопряжения А1 — транспонированная матрица А* — сопряженная матрица, А* = АТ А~1 — обратная матрица A~J — матрица (А~1)т А~* — матрица (Л-1)*
77 — символ, указывающий операцию транспонирования или сопряжения Ап - матрица А1 или А*
А~11 матрица (Л-1)^
zu _ числ0 z или ЧИСЛО Z
(х,у) скалярное произведение
J-* — оператор, сопряженный к оператору J-
||Л|| -- спектральная норма, ||Л||=||Л||
|| Л ||;— норма Фробениуса
tr Л — след матрицы Л
rank Л — ранг матрицы Л
р(А) — спектральный радиус матрицы Л

чтобы указанные меньшие уравнения и пары уравнений имели только нулевые решения. Отсюда прежде всего вытекает, что форма (1.28) не должна содержать пар вида (Ь,к, АД). Действительно, уравнение
допускает ненулевые решения в силу леммы 1. Кроме того, регулярное ядро пучка (1.9) обязано удовлетворять условиям теоремы 1. В дальнейших рассуждениях мы предполагаем, что эти условия выполнены. Тем самым каноническая форма (1.28) выглядит теперь проще, а именно
Теорема 3 Матричное уравнение (1-7), где А и В — матрицы вида (1.29) и регулярный пучок А-[ + В^ удовлетворяет условиям теоремы 1, имеет толпко пулевое решение.
Доказательство. Матрица Y разбита на N2 блоков, где N теперь равно /, + 1. Покажем вначале, что нулевыми являются блоки УД, для которых і и j не превосходят t. Чтобы упростить индексацию, сделаем это для блоков Vu, УД и УД. Для прочих блоков Yij рассуждения аналогичны.
Блоки УД и УД связаны парой соотношений
Применяя к второму равенству (1.30) матричную операцию 7-і, получим явное выражение для блока УД. Подставляя его в первое равенство,
LhYkk + Y&M?k =
 = L 0 ... LJkt ® Ль Вп = Ml 0 ... Ml ® В4.
(1.29а)
(1.296)