Объемные сингулярные интегральные уравнения задачи дифракции в резонаторе на локально-неоднородном теле

• Автор: Цупак, Алексей Александрович
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Место защиты: Б.м.
• Количество страниц: 104 с. : ил.

1 Дифференциальная и интегральная формулировки задач дифракции
1.1 Интегро-дифференциальное уравнение
1.2 Тензорная функция Грина прямоугольного резонатора
1.3 Эквивалентность дифференциальной и интегральной формулировок
^ 1.4 Векторное сингулярное интегральное уравнение
2 Исследование векторного сингулярного интегрального
уравнения задачи дифракции
2.1 Основные положения теории сингулярных интеграль-

ных уравнений
2.2 Анализ интегральных уравнений
2.3 Обобщенные решения в случае задачи с потерями
2.4 Обобщенные решения в случае задачи без потерь

3 Численный метод решения задачи дифракции
3.1 Метод Галеркина
3.2 Сходимость метода Галеркина
щ 3.3 Построение схемы Галеркина
3.4 Программная реализация численного метода
3.4.1 Об оптимизации вычисления матрицы СЛАУ
3.4.2 О решении серии задач дифракции на различных телах

3.4.3 Решение задачи дифракции на магнитоэлектри-

ческом теле
3.5 О выборе кубатурной формулы
3.5.1 Кубатурная формула прямоугольников
3.6 Численное тестирование метода выделения особенности
И функции Грина
3.7 Метод решения задачи на многопроцессорных системах
3.7.1 Численные расчеты по методу Галеркина
3.7.2 Статистика расчетов на многопроцессорных кластерах
Приложение А
Список литературы

Задачи дифракции электромагнитных волн на рассеивателях с конечной проводимостью имеют широкий диапазон применений в физике плазмы, микроволновой технике, медицине и в других областях. В качестве примера можно привести задачи проектирования микроволновых печей (как бытовых, так и больших промышленных), обладающих заданными параметрами. Задача дифракции на неоднородном теле произвольной формы имеет тесную связь с вопросами о влиянии электромагнитного излучения на биологические объекты. Решения задач дифракции на анизотропных телах могут быть использованы при исследовании характеристик плазменных образований. В связи с этим важное значение приобретает разработка математических моделей задач дифракции и эффективных численных методов их решения.
Точное решение задачи, представляющее рассеянное поле во всем пространстве в аналитическом виде, удается получить только для весьма узкого класса объектов и при отсутствии экранов. Один из первых результатов представлен в работе [1], где рассматривается двумерная задача возбуждения диэлектрического цилиндра круглого сечения плоской волной. Решение находится методом разделения переменных и представляет собой ряд по тригонометрическим и цилиндрическим функциям (ряд Рэлея), который сходится при всех значениях ко Д, где ко = 2п/— волновое число, Л— длина падающей волны, Д— радиус цилиндра. Если коII << 1, то ряд сходится достаточно быстро. При ко Я >> 1 сходимость ряда может быть улучшена при помощи преобразования Ватсона [2]. В резонансном случае (т.е.
ответственно:
(.В0и)(х) = (І + гюті{х))У(х) - І Аі(х,у)[т)(у)ЇЇ(у)]<Іу-3 Я
-у.р-І &2{х,у)[п(у)и(у)(1у, х,уєО,
„ ? . „ _ (69)
(.Ви)(х) = {І + -г}0гі(х))и{х) - р(х) [ Яі(х,у)[т](у)и{у)]ду-
-и.р. І й2{х,у)[г)(у)и{у)сіу; х,у Є и3
Учитывая (61) и (62), получим выражения для операторов, сопряженных к Во и В в пространствахи -Ё3(К3) соответственно:
{В*0У)(х) = (/ + ^у*0т]*{х))У{х) - 17*(ж) [к(х,у)У{у)<1у-3 О
-т)*{х)и.р. І В%(х,у)У(у)сІу; х,у Є <2,
1 С „ (70)
(5*У)(ж) = (/ + -17^*(ж))У(ж) -17*(ж) [ р{х)кр1(х,у)Уду-

-г)*(х)и.р. I р(х)В%(х,у)У(у)с1у, х, у Є Я3
Здесь матричные операторы т)о> Я*і Щ(х, у) и Щ(х,у) определяются формулами
*?о = 7"Д р*(х) =є*(х) -є0ї, (71)
Д?(ж,у) = ^Г*(ж,у), Д?(ж,у) = ^-П(х,у). (72)
Єо Єо
Лемма 2.1. Если г)(х) = 0 при х єК3(^, то из нетеровости оператора уравнения (68) в £2 (И3) следует нетеровостъ оператора уравнения (63) в £3(<2) и обратно.
Доказательство. Учитывая, что т)*{х) = 0 при х Є И3 <Э,
из структуры операторов В* и В получаем, что множество нулей
Кег(В*) оператора В* состоит из тех элементов ф, связанных с ну-