Вэйвлет-сплайновая аппроксимация функций с особенностями

• Автор: Арсентьева, Евгения Петровна
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 163 с. : ил.

Содержание
Введение
Глава 1. Измельчение триангуляции вблизи границы области и аппроксимация функций с особенностью
1.1. Измельчение триангуляции вблизи границы
1.2. Описание измельчения триангуляции с помощьто таблиц инци-
денций
1.3. Отображение триангуляции на криволинейную границу
1.4. Об аппроксимации функций с особенностью на границе
Глава 2. Симплициальное подразделение области с измельчением симплексов к границе области; аппроксимация функций с особенностью
2.1. Симплициальное подразделение полосы в пространстве К3 с
измельчением симплексов
2.2. Второй способ симплициального подразделения полосы
2.3. Третий способ подразделения полосы
2.4. Измельчение симплициального подразделения полосы в двугранном угле
2.5. Другие варианты измельчения в двугранном угле
2.6. Алгоритм измельчения симплициального подразделения полосы в трехгранном угле
2.7. О курантовской аппроксимации функций с вырождением на
границе
Глава 3. Адаптивные сплайн-вэйвлетные разложения двумерных потоков числовой информации
3.1. Локальное укрупнение триангуляции
3.2. О барицентрических звездах исходной триангуляции
3.3. Структура барицентрических звезд укрупненной триангуляции
3.4. Калибровочные соотношения для функций Куранта
3.5. Биортогональная система и ее значения на базисных функциях объемлющего пространства
3.6. Общая структура вэйвлетного разложения
3.7. Вэйвлетиое разложение при укрупнении триангуляции
3.8. О вэйвлетных разложениях при измельчении триангуляции
Заключение
Литература
Приложение А. Программная реализация симплициального подразделения полосы в пространстве М3 с измельчением симплексов
Введение
Диссертация посвящена алгоритмам построения невырожденных сим-плициальных двумерных и трёхмерных сеток, измельчающихся к границе разбиваемой области, аппроксимации функций с особенностями и построению адаптивных сплайн-вэйвлетных разложений на укрупняющейся сетке.
Актуальность работы. Решение задач в гидродинамике, электродинамике, газовой динамике, теории упругости (в частности, прогнозирование климата, ураганов, цунами и т.д.) сводится к получению численных данных, задающих коэффициенты соответствующих начально-краевых задач, и к решению этих задач численными методами, а именно, методами сеток [1, 10, 12, 27, 36, 40, 50, 53], методами конечных элементов и методами Ритца-Галеркина [25, 28, 42, 43, 48, 49, 63, 67, 79].
Поскольку сложные задачи часто характеризуются функциями с нерегулярным поведением (например, неограниченным ростом функций пли их производных вблизи границы рассматриваемой области или переходами от медленного изменения к быстрому), то возникает задача построения аппроксимаций этих функций, учитывающих их нерегулярное поведение. Онлайновые и конечно-элементные аппроксимации представляют собой линейную комбинацию большого числа, базисных функций с малым носителем; базисные функции строятся стандартным способом п определяются сеткой узлов в некоторой области евклидова пространства, а коэффициенты линейной комбинации рассматриваются как числовой поток, подлежащий обработке. Для экономного использования ресурсов вычислительной системы прибегают к вэйвлетному разложению упомянутого исходного потока на основной поток п уточняющие (вэйвлетные) потоки [13, 24, 33, 39, 51, 75-77]. Как правило, основной информационный поток значительно менее плотный, чем исходный поток информации, поэтому его можно передать быстро. Уточняющий ин-

Для (s+l)-ro шага алгоритма используем набор точек на прямых AS+1,A“+1, полученный объединением таблиц, подобных таблицам (1.18), (1.22). Триангуляция 0я+1, 0я+1, ©5+1 производится по формулам (1.13), (1.15). Описанный алгоритм называем методом (Тз).
1.3. Отображение триангуляции на криволинейную границу
В плоскости Щх декартовых координат (х,у) рассмотрим конечную область О с гладкой границей <90. Криволинейная граница области задается уравнением
<90 : г — p(s), s Е [—S, 5),
где s — натуральный параметр (длина кривой), p(s) — дифференцируемая (нужное в дальнейшем число раз) вектор-функция; предполагаем также, что при возрастании параметра s обход области производится в положительном направлении (против часовой стрелки). Унитарный оператор ортогонального поворота (против часовой стрелки) обозначим через U (в соответствии с прежними обозначениями можно написать Urd~r-). Перейдём к построению асимптотики углов. Предположим, что пограничная полоса в случае прямолинейной границы:
n(Sir)tLf{(s,T) | - S < s < S, 0 < т < т*},
взаимно-однозначно отображается в пограничную полосу границы <90
П(*,„) = {г |г = p(s) + rn(s), —S < s < S, 0 < т < r*};
здесь n(s) — внутренняя нормаль к 90 в точке s. Пусть Ф упомянутое отображение: