Конечномерные аппроксимации решений сингулярных интегродифференциальных и периодических псевдодифференциальных уравнений

• Автор: Федотов, Александр Иванович
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Казань
• Количество страниц: 258 с.

— 2 — ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

Глава I. СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ

УРАВНЕНИЯ И ИХ СВОЙСТВА

§1.1. Основные понятия и обозначения

§1.2. Сингулярные интегральные уравнения

с ядром Гильберта: одномерный случай

§1.3. Одномерные псевдодифференциальные

уравнения

§1.4. Сингулярные интегральные уравнения

с ядром Гильберта: многомерный случай

§1.5. Сингулярные интегральные уравнения
с ядром Коши на разомкнутом контуре
Глава II. АНАЛИТИЧЕСКИЙ ПОДХОД В ПОСТРОЕНИИ
КВАДРАТУРНО-РАЗНОСТНЫХ МЕТОДОВ
§2.1. Об общей теории приближенных методов
§2.2. Квадратурно-разностный метод, основанный
на сплайн-аппроксимации
§2.3. Полиномиальный подход в построении
квадратурно-разностного метода

Глава III. ЧИСЛЕННЫЙ ПОДХОД В ПОСТРОЕНИИ
КВАДРАТУРНО-РАЗНОСТНЫХ МЕТОДОВ
§3.1. Регулярная, устойчивая и компактная сходимость операторов и приближенное решение операторных уравнений
§3.2. Сходимость квадратурно-разностного метода в
пространствах Гёльдера: линейный случай
§3.3. Сходимость квадратурно-разностного метода в
пространствах Гёльдера: нелинейный случай
§3.4. Квадратурно-разностный метод для уравнений
с разрывными коэффициентами
Глава IV. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
ПСЕВДОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
§4.1. Вспомогательные результаты
§4.2. Сходимость метода коллокаций для
сингулярных интегральных уравнений
§4.3. Сходимость метода коллокаций для
псевдодифференциальных уравнений
§4.4. Сходимость метода коллокаций для
систем псевдодифференциальных уравнений
Глава V. КУБАТУРНО-РАЗНОСТНЫЙ МЕТОД
РЕШЕНИЯ МНОГОМЕРНЫХ УРАВНЕНИЙ
§5.1. Оценка нормы интерполяционного оператора
в многомерных пространствах Соболева
§5.2. Сходимость кубатурно-разностного метода для многомерных сингулярных
интегродифференциальных уравнений
Глава VI. КВАДРАТУРНО-РАЗНОСТНЫЙ МЕТОД
РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ НА РАЗОМКНУТОМ КОНТУРЕ
§6.1. Квадратурно-разностный метод для уравнений
нулевого индекса
§6.2. Квадратурно-разностный метод для уравнений
ненулевого индекса
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА
ПРИЛОЖЕНИЕ

с обобщенными производными
£)к = порядка к = {к,к,2) 6 N0,
а Т - известный линейный оператор. Доказывается сходимость метода и получаются оценки погрешности приближенного решения.
Шестая глава посвящена разработке и обоснованию квадратурноразностного метода решения сингулярных интегродифференциальных уравнений с ядром Коши на разомкнутом контуре.
В §6.1 квадратурно-разностный метод строится и обосновывается для уравнений нулевого индекса вида
где х{р) - искомая, а„(£), Ъи{Ь), 1ги(Ь, т), и = 0,1 /(£) - известные
непрерывные функции своих аргументов 1,т € [—1,1], Ьт(Ь) является полиномом степени щ > 0.
В §6.2 указываются изменения в постановке, вычислительной схеме и обосновании метода в случае уравнений положительного и отрицательного индексов.
Остановимся на некоторых моментах, которые важны при чтении текста. Вся диссертация разбита на шесть глав, каждая из которых разбита на параграфы. Параграфы внутри каждой главы имеют независимую нумерацию. Первая глава носит вспомогательный характер. В ней приведены определения основных понятий, используемых в
с начальными условиями