Алгоритмы статистического моделирования решений уравнений эллиптического и параболического типа

• Автор: Симонов, Николай Александрович
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 286 с. : ил.

Содержание
Введение
1 Алгоритмы статистического моделирования для решения уравнений эллиптического типа
1.1 Случайные блуждания внутри области и моделирование марковских цепей
1.1.1 Формула Грина и алгоритм блуждания по сферам
1.1.2 Оценки метода Монте-Карло для итераций интегральных операторов
1.2 Эффективные алгоритмы моделирования точки выхода броуновского случайного процесса на границу
1.3 Методы Монте-Карло на основе моделирования блуждания по сферам в применении к задаче Неймана и смешанной краевой задаче
1.3.1 Введение и постановка задачи
1.3.2 Соотношение о среднем для граничной точки
1.3.3 Решение интегрального уравнения во всей области и алгоритм блуждания по сферам
1.3.4 Построение оценки решения
1.4 Алгоритмы случайного блуждания по сферам для решения задачи с условиями непрерывности
1.4.1 Постановка задачи
1.4.2 Интегральное представление решения в граничной точке
1.4.3 Алгоритм построения оценки
1.4.4 Другие краевые задачи
1.5 Методы Монте-Карло, основанные на теории потенциала, в применении к решению эллиптических уравнений
1.5.1 Марковские цепи блуждания по границе и оценки для
решений краевых задач
1.5.2 Методы Монте-Карло для решения задач с условиями
непрерывности
1.5.3 Алгоритмы случайного блуждания по границе для линеаризованного уравнения Пуассона-Больцмана
1.5.4 Применение алгоритма случайного блуждания по гра-
нице к решению задачи с условиями непрерывности для уравнения Пуассона-Больцмана

2 Алгоритмы статистического моделирования для решения уравнений параболического типа
2.1 Методы Монте-Карло для решения параболических уравнений .
2.1.1 Интегральная формулировка задачи
2.1.2 Построение оценки для решения задачи Коши
2.1.3 Оценка решения краевой задачи
2.2 Алгоритмы случайного блуждания для решения уравнения конвекции-диффузии
2.2.1 Уравнение конвекции-диффузии и краевая задача
2.2.2 Интегральное уравнение для решения задачи Коши
2.2.3 Оценка решения задачи Коши
2.2.4 Первая краевая задача
2.2.5 Оценка решения краевой задачи
2.3 Алгоритмы статистического моделирования для решения системы параболических уравнений
2.3.1 Сопряжённая оценка для вектора решения
2.3.2 Прямая оценка
2.4 Методы Монте-Карло для параболических уравнений с граничной функцией, зависящей от решения
2.4.1 Краевая задача и интегральное уравнение для плотности потенциала
2.4.2 Алгоритм построения оценки
2.5 Метод Монте-Карло для решения двумерных уравнений пограничного слоя
2.5.1 Построение системы интегральных уравнений
2.5.2 Итерационный метод и его сходимость
2.5.3 Алгоритм метода Монте-Карло и построение оценки
2.6 Решение параболических уравнений со случайными параметрами
2.6.1 Алгоритмы статистического моделирования для решения параболических уравнений со случайными начальными данными и правой частью
2.6.2 Методы Монте-Карло для решения параболического уравнения со случайным коэффициентом
2.6.3 Стохастическая задача Коши и вероятностное представление
2.6.4 Интегральное представление решения
2.6.5 Оценки метода Монте-Карло
2.7 Метод Монте-Карло для решения уравнения Шрёдингера на основе преобразования Хопфа-Коула
3 Применение разработанных методов к решению модельных
и прикладных задач
3.1 Применение методов Монте-Карло для вычисления физических
свойств макромолекул
3.1.1 Вычисление диффузионно-обусловленной константы реакции
3.1.2 Результаты вычислительных экспериментов

3.2 Вычислительные эксперименты по решению задач с граничными условиями, включающими в себя нормальную производную решения
3.2.1 Результаты тестовых расчётов по применению блужда-
ния по сферам для решения задачи Неймана и смешанной краевой задачи
3.3 Численные статистические модели для решения уравнения Пуассона-Больцмана и для вычисления свободной электростатической энергии макромолекул в растворе
3.3.1 Внутренняя энергия молекулы
3.3.2 Оценка зависимости от концентрации соли
3.3.3 Вычислительные эксперименты по определению зависимости от концентрации соли
3.4 Комплекс программ для решения задач молекулярной электростатики
3.5 Вычисление электрической ёмкости с использованием алгоритма случайного блуждания по границе
3.5.1 Поверхностный потенциал и эргодическая теорема
3.5.2 Оценка метода Монте-Карло для электрической ёмкости
3.5.3 Вычисление распределения заряда на поверхности
3.5.4 Результаты вычислений для единичного куба
3.6 Алгоритмы статистического моделирования для определения эффективных свойств пористых сред
3.6.1 Аналитические формулы для проницаемости
3.6.2 Глубина проникновения и прямые вычисления проницаемости
3.6.3 Методы Монте-Карло для вычисления проницаемости
3.6.4 Калибровка алгоритма
3.6.5 Результаты численных экспериментов
3.7 Решение уравнения конвекции-диффузии
3.8 Решение системы линеаризованных уравнений
Навье-Стокса
3.9 Решение параболических уравнений со случайными параметрами
4 Дополнение
4.1 Рандомизированные итерационные методы решения интегральных уравнений Эйлера
4.1.1 Постановка задачи
4.1.2 Численные методы решения
4.1.3 Результаты вычислительных экспериментов
Заключение
Список литературы

Полученное соотношение остаётся верным и в том случае, когда рассматривается краевая задача для уравнения Пуассона (к = 0). Функция Грина задачи Дирихле в шаре В(х,а) имеет в этом случае следующий вид:
If 1 1 I у — X
Ф о (у) = -у- 1 г , а её градиент равен Vyj>0 (у) = ту. При
Фк\у~х a J 47г|г/ — ж
этом, с очевидностью, все асимптотические и предельные соотношения для
малой окрестности точки х остаются в силе.
Перепишем (1.3.5) в более удобном виде, явно выделив особенности, соответствующие фундаментальному решению уравнения Лапласа и его нормальной производной. Имеем
и{х) = [ дг 1~г~ф[2 <5*.« w(y) ds(J/)
Уг5И} 27Г |у — жр
+ [ 2тгу~-х (1 ~ <Му) • (1-3.6)
JГ(РВ(зт,а){х} 2тг|у а
Здесь COS ipyx есть угол между внешней ПО отношению К Вг(х, а) нормалью в точке у и вектором у — х, а весовая функция
^ п __|Ч sinh(«(a — |у — ж|)) + ку - х cosh(«(a - у - ж|))
ЧкЛ'У Xl) ~ sinh(Ka)
уже не содержит особенностей. На поверхности сферы S(х, a) QK>a — g(«, а) =
——г. При этом всюду в замкнутом шаре с вырезанным центром В(х,а) sinh(«:a)
{.т}, очевидно, QKta меньше единицы и положительна. Для к = 0 эта функция, тождественно равна единице. Весовая функция QA-. равная sinh(n(a — у — ж|)) а
— -—1—:————г, также не содержит особенностей, меньше ли-
а—у — х smh(Ka)
tx/CL
бо равна единице и больше либо равна -. —г. Очевидно, что при к =
smn (ка)
она тождественно равна единице.
1.3.3 Решение интегрального уравнения во всей области и алгоритм блуждания по сферам
Не ограничивая общности, будем рассматривать решение краевой задачи для однородного уравнения (1.3.1). Если правая часть уравнения —/ не равна нулю, то от исходной постановки всегда можно перейти к рассмотрению задачи
для функции v(x) = и(х) + / Фк/, где Фк - фундаментальное решение урав-

нения Пуассона-Больцмана. При этом в граничные условия войдёт объёмный