Разностные методы решения краевых задач для некоторых классов нагруженных дифференциальных уравнений

• Автор: Алиханов, Анатолий Алиевич
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 103 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА 1. Краевые задачи для нагруженного уравнения теплопроводности с конвекцией

1.1. Первая краевая задача для стационарного нагруженного уравнения диффузии
1.2. Построение разностной схемы. Устойчивость и сходимость
1.3. Первая краевая задача для нагруженного стационарного уравнения теплопроводности с конвекцией
1.4. Построение разностной схемы. Устойчивость и сходимость
1.5. Третья краевая задача для нагруженного стационарного уравнения теплопроводности с конвекцией
1.6. Построение разностной схемы. Устойчивость и сходимость
1.7. Первая краевая задача для нагруженного уравнения теплопроводности с конвекцией
1.8. Построение разностных схем. Устойчивость и сходимость
1.9. Нелокальная краевая задача первого рода
1.10. Построение разностной схемы. Устойчивость и сходимость
1.11. Нелокальная краевая задача второго рода
1.12. Построение разностной схемы. Устойчивость и сходимость
ГЛАВА 2. Краевые задачи для волнового уравнения с дробной производной по времени
2.1. Первая краевая задача для волнового уравнения с дробной производной по времени
2.2. Построение разностных схем. Устойчивость и сходимость
2.3. Третья краевая задала для волнового уравнения с дробной производной по времени
2.4. Построение разностных схем. Устойчивость и сходимость
2.5. Сходимость разностных схем для обобщенного уравнения переноса
2.6. Трехслойные факторизованные схемы
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ВВЕДЕНИЕ
Вопросы, связанные с процессом диффузии частиц в турбулентной плазме влаги в почвогрунтах, а также с процессом распространения тепла в тонком нагретом стержне, если задан закон изменения общего количества тепла стержня, приводят к нагруженным дифференциальным уравнениям и нелокальным задачам для дифференциальных уравнений математической физики.
В работе Нахушева А.М. [49] впервые указана связь нелокальных задач с нагруженными уравнениями: нелокальные задачи типа Бпцадзе-Самарского для уравнений Лапласа и теплопроводности сведены к локальным задачам, для нагруженных уравнений. Этот факт используется в ряде работ для численного решения нелокальных задач математической физики (см., например, [85]).
К первым работам с неклассическими граничными условиями для общих параболических уравнений относятся, по-видимому, работы Cannon J.R. [93], Камынина Л.И. [34] и Чудновского А.Ф. [79], [80]. После появления работы Бицадзе A.B. и Самарского A.A. [8], внимание математиков все чаще стали привлекать нелокальные задачи математической физики. Различные классы нелокальных задач для дифференциальных уравнений с частными производными изучались в работах Ионкина Н.И. [30], [31], Самарского A.A. [63], Ионкина Н.И., Моисеева Е.И. [33], Ильина В.А., Моисеева Е.И. [28], [29], Шоиолова H.H. [83], Гордезиани Д.Г. [13] - [15], Нахушева А.М. [48], [49], Шханукова М.Х. [86], Керефова A.A. [37], Митропольского Ю.А., Шхану-кова М.Х., Березовского A.A. [43], Муравей Л.А., Филиновского A.B. [44], Житарашу Н.В., Эйдельмана. С.Д. [27], Солдатова А.П., Шханукова М.Х. [69], Гулина A.B., Ионкина Н.И., Морозовой В.А. [16]-[21] и др.
Проведем обзор некоторых классов нелокальных задач, возникающих в различных областях знаний.
Рассмотрим толщу почвы от поверхности земли до уровня грунтовых вод

w(0,O = w(l,£) = 0.
Запишем представление решения задачи (1.34):

™(*>0 = J G(x,r})q(T})Goe(r}t€)d7i
Откуда с помощью (1.31) и (1.33) находим max |го(ж,£)| <

Так как |С/(ж,£)| < |б?о$(а:,£)| + |ги(а;,£)|, то получаем оценку
|G*(*,OI<-(l + -V (1-35)
Cl С)
Возвращаясь к равенству (1.29), при выполнении условия
. с3 / с2

ci V ci
их(хо) < M2\f\о, (1.36)
где М-2 = M2{ci, С2, сз)-известное положительное число.
Из оценки (1.26) с помощью (1.36) находим
1М1ш(0,1) < М||/||о.
Пусть еще дополнительно выполнены условия ] кх |, | к'хх! 1 Чх) Чхх < С4-Тогда справедлива оценка
IMIw22(o,i) МЦ/По,
где М = М(с, с-2, сз)-некоторое положительное число.
Замечание. Если условие 1 —- [ 1 + “ } >0 нарушено, то задача (1.22)-
Ci Ci
(1.23), вообще говоря, некорректно поставлена.
Рассмотрим пример
и" + 3-г/(1/6) = 0, 0 < х < 1, u(0) = «(1) = 0.
Здесь Cl = 1, С2 = 0, Сз = 3. Функция и(х) = х — х2 является решением
рассмотренной однородной задачи.