О решении некоторых задач моделирования крупномасштабной динамики океана

• Автор: Сухов, Владимир Борисович
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 113 с. : ил.

1 Формулировка задачи крупномасштабной динамики океана в обобщённой 5-системе координат

1.1 Постановка задачи в тензорной форме

1.2 Метрические коэффициенты

1.3 Запись уравнений в «-системе координат

1.3.1 Геофизическая система координат

1.3.2 Специальная система координат со смещённым северным полюсом

1.3.3 Специальная система координат со смещёнными северным и южным

полюсами

1.4 Уравнения в 5-системе координат

1.4.1 Примеры в-систем

1.5 Начальные и граничные условия

1.6 Выводы
2 Некоторые новые оценки для решения уравнений динамики океана
2.1 Введение
2.2 Вспомогательные утверждения
2.3 Новые априорные оценки для решения задачи динамики океана
2.4 Выводы
3 Методы регуляризации уравнений динамики океана
3.1 Постановка задачи
3.2 Метод стабилизации давления
3.2.1 Связь метода стабилизации и схем дискретизации по времени
3.2.2 Вспомогательные утверждения
3.2.3 Теорема о сходимости метода
3.3 Альтернативный метод регуляризации
3.3.1 Связь метода и схемы расщепления
3.3.2 Сходимость альтернативного метода регуляризации
3.4 Выводы
4 Исследование сходимости разностных схем по времени для уравнений динамики океана
4.1 Введение
4.2 Вспомогательные утверждения
4.3 Сходимость одношаговых схем
4.3.1 Полностью неявная схема
4.3.2 Полунеявная схема

4.4 Сходимость двухшаговых схем
4.4.1 Двухшаговая схема с учётом действия силы Кориолиса на первом этапе расщепления
4.4.2 Двухшаговая схема с учётом действия силы Кориолиса на втором этапе расщепления
4.5 Сходимость трёхшаговой схемы
4.6 Схема второго порядка точности
4.7 Замечание о линейной задаче
4.8 Исследование схемы расщепления для полной системы уравнений
4.9 Выводы
Заключение
Приложения
А Вычисление метрических коэффициентов для специальной системы координат со смещённым северным полюсом и дифференциала соответствующего ей отображения
В Вычисление метрических коэффициентов для специальной системы координат со смещёнными северным и южным полюсами и дифференциала соответствующего ей отображения
С Результаты численного моделирования крупномасштабной динамики мирового океана в специальной криволинейной системе координат
Список литературы

Одной из наиболее крупных и важных задач математического моделирования геофизических процессов является задача моделирования крупномасштабной динамики мирового океана. Наряду с моделями динамики атмосферы модели динамики океана играют важнейшую роль в решении задач долгосрочного прогноза изменения климата, краткосрочного прогноза погоды, а также моделирования развития катастроф, в том числе техногенного характера. В настоящее время общепринятой основой моделирования крупномасштабных океанических явлений служит широко известная система уравнений крупномасштабной динамики океана (примитивных уравнений) [11], [13], [34]. На основе последней во многих мировых научных центрах созданы модели [27], [3], включающие большие программные комплексы, результаты вычислений по которым служат основой для выработки рекомендаций правительствам государств в связи с угрозой глобальных климатических изменений.
Система уравнений динамики океана вызывает интерес как с точки зрения прикладного моделирования геофизических процессов [2], [4], [16], [26], так и с точки зрения теоретического математического анализа [21], [25], [19]. В течение ряда лет с момента появления математической модели крупномасштабной динамики океана предпринимались попытки строго математического обоснования её корректности. В частности, в [25] была доказана теорема существования “в малом“, а именно, было показано, что при любом коэффициенте вязкости и любых достаточно гладких начальных условиях и существует интервал времени, зависящий от исходных данных задачи, на котором существует решение. В то же время, проблема существования решения “в целом“ (на произвольном промежутке времени) при любом коэффициенте вязкости в течение долгого промежутка времени оставалась открытой. Существование решения “в целом“ было доказано для ряда частных случаев. Например, в [21] существование решения “в целом“ было доказано в предположении малости размера области в вертикальном направлении. Отсутствие завершённых результатов в этой области не позволяло получить строгое обоснование численных методов используемых при решении задачи. Серьёзным продвижением в области теоретического исследования задачи стала доказанная в работе [23] теорема существования и единственности решения задачи “в целом“ (т.е. при любом положительном значении коэффициента вязкости, любых достаточно гладких начальных данных, произвольном интервале времени и произвольной области). Это позволило строго обосновать применение численных методов решения задачи.
При численном решении начально-краевой задачи для системы уравнений крупномасштабной динамики океана используются как явные [16], [20], так и неявные схемы по времени [26]. В последнем случае перед исследователями встаёт задача решения сложной по структуре системы эволюционных уравнений в частных производных с большим количеством неизвестных, что в совокупности со сложной геометрией расчётной области приводит после дискретизации задачи к системе нелинейных (в случае использования линеаризованных схем — линейных) уравнений с огромным (порядка сотен миллионов) количеством неизвестных на каждом шаге по времени, имеющей очень сложную структу-

Теорема 2.3.3 Пусть выполнено предположение 2.2.2. Тогда существует константа с, зависящая от входных данных задачи, такая, что
Доказательство. Доказательство дословно повторяет рассуждения предыдущей теоремы.
Замечание 2.3.1 Если вместо уравнения конвекции-диффузии для плотности рассматривать уравнения конвекции-диффузии для температуры Т и солёности S и считать р линейной функций TuS, все оценки, справедливые для р, в частности оценка из утверждения предыдущей теоремы, будут такоке справедливы и для TuS.
В главе получены важные новые априорные оценки для решения задачи крупномасштабной динамики океана, на основании которых в последующих главах будут получены завершённые результаты о сходимости численных методов. Одним из важных следствий доказанных оценок, представляющих самостоятельный интерес, является утверждение о непрерывности по пространственным переменным решения задачи крупномасштабной циркуляции океана (речь идёт о компонентах мир решения) для достаточно регулярных областей П'. Техника, использованная при доказательствах теорем, основана на приёмах, разработанных в работах [29], [33] для системы уравнений Навье-Стокса; при этом, благодаря результатам, полученным в работе [23] при доказательстве теоремы существования и единственности для уравнений крупномасштабной динамики океана, удалось преодолеть трудности, вызванные отличием системы уравнений' динамики океана от системы уравнений Навье-Стокса.

2.4 Выводы