Методы анализа разностных схем сквозного счёта

• Автор: Ковыркина, Оляна Александровна
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 89 с. : ил.

Содержание
Введение
1 Экспериментальное исследование точности разностных схем
на нестационарных ударных волнах
1.1 Постановка задачи
1.2 Методы определения порядков слабой сходимости и относительных
погрешностей
1.3 Задача с одной прерывной волной
1.4 Задача с двумя прерывными волнами
2 Методы построения асимтотических разложений на сильном разрыве
2.1 Разностная задача распада разрыва
2.2 Постановка задачи для линейного уравнения переноса
2.3 Построение асимптотического разложения разностного решения но
методу I
2.4 Построение асимптотического разложения разностного решения по
методу II
3 Примеры построения асимптотических разложений для конкретных разностных схем
3.1 Разностная схема направленных разностей
3.2 Схема Лакса
3.3 Схема с линейной искусственной вязкостью (метод I)
3.4 Схема с линейной искусственной вязкостью (метод II и его сравнение
с методом I)
3.5 Построение асимптотического разложения на основе определяющего
коэффициента схемной дисперсии
3.6 Разностная схема с искусственными вязкостью и дисперсией
3.7 Симметричные компактные разностные схемы с искусственными
вязкостями второго и четвёртого порядка дивергентности

4 Теоретическое исследование точности разностных схем сквозного
счёта
4.1 Основные определения
4.2 -условия Гюгонио на фронте нестационарной ударной волны
4.3 Разностная аппроксимация е-условий Гюгонио
4.4 Достаточное условие аппроксимации £-условий Гюгонио с повышенным порядком
Список литературы

Введение
Настоящая диссертация посвящена разработке методов анализа разностных схем сквозного счёта: исследованию точности разностных схем при сквозном расчёте нестационарных ударных волн и построению асимптотических разложений разностных решений на сильных разрывах на основе неклассических дифференциальных приближений разностных схем.
Актуальность. В настоящее время для исследования сложных процессов, допускающих математическое описание или математическое моделирование широко используется вычислительный эксперимент [1, 3, 5, 10, 11, 28, 29, 49, 51, 52, 56, 58]. Одним из главных этапов вычислительного эксперимента является построение приближённого (численного) метода решения задачи, которое в случае использования конечно-разностных методов сводится к выбору разностной схемы, аппроксимирующей соответствующую систему дифференциальных уравнений. Основная трудность этого заключается в том, что для каждой такой системы можно написать бесконечно много различных, аппроксимирующих её разностных схем. Поэтому актуальной является проблема разработки новых методов анализа разностных схем и оценки их реальной точности при расчёте сложных физических задач с ударными волнами.
Для сквозного расчета разрывных решений гиперболических систем законов сохранения ] 13, 28, 49, 74, 76] (в частности законов сохранения газовой динамики |49, 52] и гидравлики [44, 53]) широко применяются явные двухслойные по времени монотонные разностные схемы повышенной точности (типа ТУБ (ТУШ), ТУВ, ЕМО, VENO) ]26—28, 64, 69-71, 73, 79, 80, 84-86, 92, 95]. Однако в большинстве работ, посвящённых построению таких схем (см., например, |6, 12, 26, 27, 47, 48, 54, 59, 60, 67, 71, 81, 83, 87, 88, 90, 91, 94]), под точностью схемы понимается порядок её тейлоровского разложения на гладких решениях, что, как показано в [31, 37] не гарантирует аналогичного повышения повышения точности при передачи условий Ггогопио через размазанные фронты ударных волн. Несмотря на это, долгое время было распространено ошибочное мнение о том, что указанные схемы сохраняют повышенный порядок сходимости во всех гладких частях рассчитываемых обобщенных решений. В работах |9, 38, 42, 61, 62, 65] было показано, что в общем случае эти схемы имеют не более чем первый порядок сходимости в областях влияния нестационарных удар-

Из формул (2.42), (2.43) следует, что
Th о v(t, х) = u(t, х + h) = и(в/а, (у + ah)/a) = v(0, у + hm) = Thm о v(6, у), (2.44)
Тт о u(t, х) = u(t + т, х) - и((в + ат)/а, у/а) Ш v(9 + тт, у) = ТТтп о v(0, у), (2.45)

тт = ат = h,nT / h = A hm. (2.46)
Умножим схему (2.39) на h./hm и применим формулы (2.44)-(2.46). В результате
с учётом того, что в силу (2.41)
, s 1 [ 1, Ст > О,
(Mm_1Cm = (-1Г, a = 0(Cm)={ (2.47)
[ 0, Ст < 0.
получим разностную схему
/Т'Тт РА А™
{— + % ° % + (-1)ст 71-%) о v(9, у) = О, (2.48)
4 1 m iL"m yhn)
п которой и тт — её пространстненный и временной шаги. Начальные данные (2.21) для схемы (2.48) с учётом (2.42), (2.43) имеют вид
v(y, о) = vhm(e,y)|e=0 = ©(-2/). (2.49)
Поскольку схема (2.48) при hrn, тт —> 0 аппроксимирует уравнение m-ro порядка 110 переменной у
Ун cfe . ,„dmv
- + -+ -l'l—= °> (2.50)
дв ду к ’ дгут v ;
то характерное для неё условие устойчивости, в отличие от (2.29), имеет вид
Тт = B{hm)m, В = А/(М”1“1 = noust. (2.51)
Решение для уравнения (2.50) задачи Коши (2.49) не является ни разрывным
(при t > 0), ни автомодельным, что позволяет использовать его в качестве началь-
ного приближения при построении асимптотического разложения разностного решения (2.31). Такое разложение будем строить путём решения задачи Коши (2.49) для П-формы дифференциального представления преобразованной разностной схемы (2.48). Эту П-форму с учётом (2.24), (2.25) можно записать следующим образом [56, 58]
Л о v = 0, Л = D0 - — ln(£ + AFm(hm, hmDy)), (2.52)