Численно-аналитические методы решения задач асимптотической стабилизации

• Автор: Калинина, Анастасия Борисовна
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 98 с. : ил.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
Глава
Метод рядов в применении к системе ОДУ
1.1 Введение
1.2 Вывод вычислительных формул
1.3 Первые коэффициенты разложения
1.4 Результаты численных экспериментов
1.5 Выводы
Глава
Метод рядов в применении к УРЧП
2.1 Введение
2.2 Вывод вычислительных формул
2.3 Адаптация вычислительных формул
2.3.1 Вычисление С(г, у, А;)
2.3.2 Модифицированный оператор симметризации
2.3.3 Суммирование членов ряда
2.3.4 Коэффициенты, равные нулю
2.4 Практическая реализация
2.5 Численные эксперименты
2.6 Выводы
Глава
Квадратичное приближение устойчивого многообразия
3.1 Вычислительные формулы
3.2 Практическое применение

3.3 Выводы
Глава
Стабилизация вдоль неустойчивого подпространства
4.1 Постановка задачи
4.2 Алгоритм решения
4.3 Обоснование сходимости метода
4.4 Выводы
Глава
Стабилизация вдоль заданного подпространства
5.1 Постановка задачи
5.2 Алгоритм решения
5.3 Обоснование сходимости метода
5.4 Выводы
Глава
Численные эксперименты
6.1 Расчетные задачи
6.2 Реализация вычислений
6.2.1 Базис подпространства Т
6.2.2 Вычисление нелинейности
6.2.3 Вычисление интегралов
6.3 Результаты расчетов
6.4 Выводы
Заключение
Литература
Приложение

ВВЕДЕНИЕ
Методы стабилизации
Задачи стабилизации занимают особое место среди задач управления движением. В задачах управления движением обычно рассматривается некоторая физическая система. Ее математическая модель задается при помощи эволюционных уравнений, которые могут иметь неустойчивые решения. В этом случае внесение сколь угодно малых возмущений в начальные данные может привести к конечному возмущению решения. Цель стабилизации — создание специальных алгоритмов, позволяющих подавлять такие возмущения.
Задачу стабилизации к заданному решению обычно можно свести к задаче стабилизации к нулю. Для этого записывают соответствующее уравнение в отклонениях. Ноль является стационарным решением этого уравнения. Задачу асимптотической стабилизации к нулю можно сформулировать следующим образом. Необходимо внести в систему такие изменения в пределах заданных ограничений, чтобы норма рассматриваемого решения стремилась к пулю при t —у оо. Зачастую при постановке задачи стабилизации задается желаемая скорость убывания нормы.
Далее будем рассматривать задачи асимптотической стабилизации к нулю. При решении таких задач применяются различные способы воздействия на систему.
Многие задачи стабилизации для уравнений математической физики сводятся к изменению начальных данных: влияние на систему оказывается только в начальный момент времени. Предположим, что задано некоторое начальное условие. Известно, что траектория исследуемой системы с такими начальными данными не стремится к нулю при £ —» оо. Необходи-

оо гьтрт N оо
2 Е -гЕ Е
£=.N4-1 31=1 »7=+1
СО 771—2 N оо
= Е Е Е2к Е Е з,ш)нй. гй, .,%)-ь(%+ь .., »7т))
т=4 _2 jl=l £=N+1

= ЕЕв*(1т)гГ
771=4 7?т
°° О гpj N N
Е £ЕЕ«(«.л.а)р
£=N+1 Л
оо т—1 V—2 N N оо
= ЕЕЕЕ*ЕЕ Е
т=5 77т «=4 А:=2 л=1 Л=1 £=N+1
х 11к(Лк, , . , »7т))

= ЕЕ(7,™;Г)
771=5 7)т
Таким образом, уравнения (2.9) принимают вид
т=2 г/т

= -Р'%2 °и> VI, т)2 + /з Е] Е 52 с»(т)5г 0', тп; 7?т) г4"1
т=3 ?|т г

где 0 Аг, У 1

сх(т) — —1, при т 3;
С2(т) = 1, при т 3;
| 0, при т = 3;
с3(т) = 04(777) = сб(777)
-7, при т 4; (2 И)
О, при 777 = 3;
1, при 777 4;
0, при 777 — 3,4;
1, при 777 5.
Приравняем коэффициенты при одинаковых членах. Отметим, что поскольку т < 0, а > 0, то выражение (Л- — Ат) > 0.