Метод прямых и метод сеток для квазилинейных уравнений параболического типа с неклассическими краевыми условиями в классе обобщенных решений

• Автор: Кулыев, Довлетгелди Тойлыевич
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Киев
• Количество страниц: 104 c. : ил

ГЛАВА I. СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ ОБОБЩЕННЫХ

РЕШЕНИЙ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ПАРАБОЛИЧЕС -КОГО ТИПА С НЕКЛАССЙЧЕСКИМИ КРАЕВЫМИ УСЛОВИЯМИ
1.1. Решение обыкновенного квазилинейного уравнения второго порядка с краевым условием Ионкина-Са-марского в пространствах "Ц. (°>*-)и (0,0 /стационарный случай
1.2, Нестационарный случай. Однозначная разрешимость краевой задачи Ионкина-Самарского в пространстве
2.1. Разностные схемы для обыкновенного квазилиней -ного уравнения второго порядка с краевым условием Ионкина-Самарского
2.2. Схемы метода прямых и разностные схемы для квазилинейного уравнения теплопроводности с краевым условием Ионкина-Самарского

2.3. Схемы метода прямых и разностные схемы для краевой задачи Бицадзе-Самарского

ПРИЛОЖЕНИЕ К ГЛАВЕ П

1.3. Нестационарный случай. Решение краевой задачи

Бицадзе-Самарского в пространстве!^ ’ ((^£ 1-Ос)*39

Глава II. РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ

ЛИТЕРАТУРА

ВВЕЩЕНИЕ
В последнее время все больший интерес исследователей вы -зывают задачи математической физики с нелокальными краевыми условиями* Классическим примером такого рода задач является задача Ионкина-Самарского [16] » описывающая процесс рас
пространения тепла в тонком нагретом стержне, когда на одном конце стержня поддерживается нулевая температура и потоки тепла на концах стержня равны. Данная задача имеет большое значение также и в физике плазмы - является математической мо -делью процесса диффузии частиц в турбулентной плазме. Другим примером нелокальных краевых задач является задача Бицадзе-Са -марского [ й ] , которое возникает при решении задач теории упругости и теории оболочек, например: при исследовании уравнения статики однородного и изотропного тела, при нахождении упру -гого равновесия тела и т.д. [12] • Особенностью указанных выше краевых задач является их несамосопряженность. Отсюда следуют трудности теоретического изучения этих задач и их дискретных аналогов /разностных схем/. Результаты общей теории разностных схем и дифференциальных уравнений не переносятся на эти задачи. Трудности, связанные с несамосопряженностью усугубляются в случае, когда коэффициенты в исходных уравнениях явля -ются разрывными, а правые части обобщенными функциями, что нередко бывает на практике. Надо отметить, что результаты исследования нелокальных краевых задач математической физики в классе обобщенных решений в данное время в литературе отсут -ствуют. Поэтому проблема исследования нелокальных краевых за -дач математической физики в обобщенной постановке и построе -ния эффективных разностных схем для численного решения этих

задач, является актуальной.
Целью данной диссертации является:
- получение теорем существования и единственности обобщенных решений для обыкновенного квазилинейного уравнения второго порядка с неклассическим краевым условием Ионкина-Самарс -кого в пространствах Ч (0,1) и j (0,1) •
- исследование краевой задачи для квазилинейного уравнения
параболического типа с неклассическим условием Ионкина-Самарс2 1
кого в классе обобщенных решений из У2 '
- доказательство однозначной разрешимости нелокальной краевой задачи Бицадзе-Самарского в пространстве Щ £ i-x).
- построение и исследование схем метода прямых и разност -ных схем для краевых задач Ионкина-Самарского и Бицадзе-Самарского в классе обобщенных решений.
Приведем краткий обзор литературы, относящейся к предмету исследований. Теоретическим вопросам существования и единст -венности регулярного решения нелокальных краевых задач Ионкина-Самарского и Бицадзе-Самарского посвящены работы A.A. Са -марского, A.B. Бицадзе, Д.Г. Гордезиани, Н.И. Ионкина, Е.И.Моисеева и др. В работах [16,1?] для нахождения регулярного решения задачи Ионкина-Самарского предложен метод, основанный на возможности разложения функции, задающей начальные условия задачи, в биортогональный ряд по системе собственных и присоединенных функций. Там же получены априорные оценки устойчивости решения задачи по начальным данным и правой части в норме
(ОД) • а также в нормах С С0, l) и С (^bj) • Задача Бицадзе-Самарского впервые рассмотрена в [2] для уравнения Пуассона в прямоугольнике, в которой доказано существование и единственность регулярного решения рассматриваемой задачи.
- 50 -
Г I А В А П РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ
В этой главе изучаются схемы метода прямых и разностные схемы для дифференциальных задач /1.1.1/-/1.1.2/, /1.2.1/ -/1.2.3/, /1.3.1/ - /1.3.3/. В §1 для краевой задачи /1.1.1/-/1.1.2/ построенн разностные схемы, обладающие первым и вторым порядком точности, когда решение дифференциальной задачи/1.1.1/* /1.1.2/ принадлежит соответственно пространству "л/ (О,
- ЧЧод) . Доказано существование и единственность решения этих схем. §2.3 посвящен изучению схемы метода прямых и чисто-неявных разностных схем для дифференциальных задач /1.2.1/-/1.2.3/, /1.3.1/-/1.3.3/. Общая теория разностных схем неприменима при исследовании возникающих разностных задач. В основу исследования построенных схем метода прямых и разностных схем положена идея получения дискретного аналога методики использованной при исследовании дифференциальных задач /1.2.1/-/1.2.3/ и /1.3.1/-/1.3.3/. Такой метод применен в теории разностных схем впервые в работе [181 и представляется весьма перспективным. Исследована сходимость численного решения разностной задачи к точному и получены оценки их скорости сходимости при естественных требованиях гладкости от решения диф -ференциальных задач.
2.1, Разностные схемы для обыкновенного квазилинейного уравнения второго порядка с краевым условием Ионкина-Самарского
I. Разностная схема первого порядка точности.
Для решения краевой задачи /I.I.I/—/I.I.2/ справедливы следующие соотношения: