Численно-асимптотическое исследование задач нелинейной акустики

• Автор: Пшеницына, Наталья Андреевна
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 95 с. : ил.

1 Статистическое исследование неоднородного уравнения Бюргерса
1.1 Постановка задачи
1.2 Нестатистическое решение задачи
1.3 Построение пространств реализаций. Их свойства

1.4 Статистическое решение задачи. Свойства меры
1.5 Разностная схема
1.6 Свойства решения
1.6.1 Стационарность
1.6.2 Эргодичность
2 Задача распространения волн в средах с релаксацией
2.1 Постановка задачи
2.2 Существование решения
2.2.1 Оценка интегрального члена
2.2.2 Оценка решения
2.2.3 Обобщенное решение
2.3 Устойчивость решений
2.4 Единственность решения

2.5 Осреднение по параметру осцилляции
2.5.1 Осредиенная задача
2.5.2 Существование и единственность
2.5.3 Сходимость решения осредненной задачи к решению исходной задачи
2.6 Полное асимптотическое разложение решения
3 Численный анализ уравнений эйконала и переноса
3.1 Постановка задачи
3.2 Разностная схема, Ее свойства
3.3 Результаты расчетов
Заключение
Литература

История вопроса и актуальность темы.
Одним из важнейших уравнений нелинейной акустики является уравнение Бюргерса. Оно возникает в различных областях прикладной математики, таких как моделирование движения газа и транспортных потоков ( [1]). Это уравнение выводится из теории распространения волн конечной амплитуды в вязкой теплопроводящей среде, где диссипативные слагаемые приближаются разложением до второго порядка. В общем случае квадратичная нелинейность может быть заменена произвольной нелинейной функцией. Уравнение Бюргерса рассматривалось в работах Лакса П., Ильина А. М., Сушко В. Г., Кружкова С. Н.
Исследование статистических свойств решения уравнения Бюргерса проводилось во многих работах. Большинство из них связано с расчетом спектральных и энергетических характеристик случайного волнового процесса. В работе [2] рассмотрены изменения функций распределения для гауссовского процесса.
В частности, для квазигармонического (на входе) случайного процесса найдена одномерная функция плотности вероятности, существенно отличная от исходного гауссовского распределения ([3]); соответствующая интегральная функция измерена в эксперименте [3]. В другом предельном случае широкополосного спектра, когда образующиеся ударные фронты

Следовательно,

^ I u2{x0,y)dy + P'\uy\2Q{xo)

Р'п м2 {a'L + i/f и ||2 /Т п2
■jIKIIq(xo) + ~рї INI« + j IKII«+
JTxof(0) + ^ J u2(0,y)dy.
Тогда
1 Г1
-/ u2(s0,y)dl/НІЯКІЇ«
(a'L + у')2„ ll2 а Ліп. 1 Г1 ,.Л . , j, Мды + -рГхо1 (°) + 2 J0 и“(°-2/)^>
u2{x0,y)dy + p'\uy\2Qixo)

2Щ}±Ы^хо) + 2—ж0/2(0) + jf U2(0, у) dy.

Последнее неравенство выполняется для всех Жо Є [0, А"], значит, можно заменить правую и левую части неравенства на их супремумы по жо € [0,жі], где xi Є [0,Х].
oУ)<М+/?'1Ы1« ^ C1MIq(*o+V®i/2(0)+j£ гс2(0,у)с/?/,
где С' = 2^1, „' = 2^.
Кроме того, используем теорему о среднем

u'dydx^
sup {[ u(xo,y)2dy} f ldx = ж’і sup {[ u(x0,y)2dy}. O^io^xi Jo Jo 0^xo