Применение метода фиктивных областей для решения задач математической физики в неодносвязном случае

• Автор: Брусникин, Максим Борисович
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 89 с. : ил

Введение
В современной науке и технике требуется решать задачи математической физики в областях сложной геометрической формы. При этом требования к точности получаемого решения зачастую превосходят возможности современной вычислительной техники. Процесс численного решения многих проблем, содержащих дифференциальные уравнения, включает, по крайней мере, две трудоемкие задачи: построения вычислительной дискретной сетки в области решения задачи и построение и реализацию алгоритма, вычисляющего приближенное решение исходной задачи. Очень часто проблема построения вычислительной сетки сравнима, а иногда превосходит по затратам компьютерного и человеческого труда задачу получения и непосредственного решения дискретных уравнений, аппроксимирующих исходную задачу.
В то же время, современные алгоритмы вычислительной математики позволяют "быстро" решать только ограниченный класс проблем. В частности, к ним относятся задачи в областях простой формы, допускающие разложение решения в ряды Фурье. Другую возможность эффективного решения проблем математической физики в областях сложной формы дают многосеточные алгоритмы, но они требуют построения иерархической последовательности сеток в области решения задачи, что в свою очередь существенно ограничивает и усложняет их применимость.
Возможной альтернативой задаче построения сложных сеток является метод фиктивных областей. Общая схема применения метода фиктивных областей для решения краевых задач математической физики состоит в следующем. Пусть в некоторой области СД С Вп ищется решение и(х), которое удовлетворяет уравнению с частными производивши

Ьи = /(х), X = (хЬ Х2, хп) <Е Сх, и граничным условиям

1и = д(х), х € дС.

Основная идея метода фиктивных областей состоит в том, чтобы решать задачу не в исходной сложной области СД, а в некоторой другой, более простой области О такой, что 0 С П. Таким образом, мы будем иметь дело только с регулярными областями, что позволяет создавать программное обеспечение сразу для достаточно широкого класса задач с произвольными расчетными областями. В качестве (7 можно выбрать, например, те-мерный параллелепипед.

Задачу в расширенной области б? для приближенного решения иы(х) можно записать в виде

Ьшии = /ы(х), х Є <3,

1шиш = дш(х), х є
Здесь отмечено, что краевая задача в (Д содержит большой параметр и>, который определяет величину разрыва коэффициентов оператора Ьш на границе исходной области С і и фиктивной &'6'і. Необходимо так построить вспомогательную задачу для определения иш(х), чтобы имела место СХОДИМОСТЬ приближенного решения иш(х) К точному В области О і при и —* оо. При этом выбор вспомогательной задачи не единственен.
Сдерживающим моментом для практического применения метода фиктивных областей является то, что задача для определения иш(х) - это задача с сильноразрывными коэффициентами, задача с большим параметром ш. Поэтому затрудняются вопросы построения соответствующих разностных схем и численного решения сеточных задач. В практическом плане все преимущества метода фиктивных областей могут быть сведены на нет, если скорость сходимости применяемых итерационных процессов для определения приближенного решения (х) будет слишком медленной.
Приведем краткий обзор литературы по вопросам, затронутым в диссертации. Подробный обзор и ссылки на работы, посвященные обоснованию и практическому применению метода фиктивных областей можно найти в книге П.Н. Вабищевича [18]. В работе Н С.Бахвалова [3] наиболее полно отражены современные итерационные методы для решения задач с сильноразрывыми коэффициентами.
Впервые метод фиктивных областей, как метод приближенного решения краевых задач в сложных областях с помощью ЭВМ формулируется в работах В.К.Саульева [31]. Им рассмотрена задача Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка, предложен вариант с продолжением по старшим коэффициентам и получены оценки близости приближенного и точного решений непрерывных задач. В.И.Лебедевым [26] предложен вариант метода фиктивных областей с продолжением по младшим коэффициентам. В работе В.Я.Ривкинда рассмотрена третья краевая задача. Развитие общих направлений метода фиктивных областей для различных задач математической физики отражено в работах А.Н.Бугрова, А.Н.Коновалова, С.А.Войцеховского и других авторов.
Одним из крупных направлений практического использования метода фиктивных областей являются задачи гидродинамики. Теоретическому

исследованию и обоснованию метода фиктивных областей для уравнения Навье-Стокса посвящены работы А.Н.Бугрова [16], Ш.Смагулова [33], М.К.Оруханова [32] и др. Практическое применение и численный эксперимент отражены в работах Л.А.Руховца, П.Н.Вабищевича, ФМаШкатеп [29] и др. В работе А.Н. Бугрова и Ш.Смагулова [17] приведено обоснование метода фиктивных областей для уравнения Навье-Стокса с продолжением по старшим коэффициентам в односвязном случае и по младшим коэффициентам в неодносвязном случае.
Вопросы построения итерационных алгоритмов для решения задач метода фиктивных областей с продолжением по старшим коэффициентам наиболее полно рассмотрены в работе Н. С.Бахвалова [3]. Впервые специальный метод для решения задачи метода фиктивных областей с продолжением по старшим коэффициентам для уравнения Лапласа предложен в работе Г.М.Кобелькова [22]. Задаче Дирихле для эллиптических операторов посвящены работы Г.М.Кобелькова [21], Н.С.Бахвалова [8], задача Неймана рассмотрена в [4]. Смешанной задаче для квазилинейного эллиптического уравнения посвящена работа К.Ю.Богачева [И]. Вопросы построения и обоснования итерационных алгоритмов для решения методом фиктивных областей задач упругости рассмотрены в [7, 2, 5, 6]. Нестационарная задача Стокса рассмотрена в [3].
Настоящая работа посвящена построению, исследованию и применению метода фиктивных областей с продолжением по старшим и младшим коэффициентам одновременно для решения задач математической физики в неодносвязных областях. Исследование проводилось в непрерывном случае. Особое внимание уделялось применению метода фиктивных областей к уравнению Навье-Стокса и эффективному решению получающихся задач с сильноразрывными коэффициентами.
Основные результаты работы заключаются в следующем:
1. В работе предложен новый вариант метода фиктивных областей для решения задачи Дирихле для различных типов уравнений математической физики в многосвязном случае. Достоинствами предложенного продолжения уравнений с частными производными являются возможность решать первую краевую задачу в неодносвязных областях и высокая скорость сходимости решения продолженной задачи ии(х) к решению исходной и(.х).
2. Обосновано применение построенного метода для решения уравнений эллиптического типа, линеаризованной задачи Стокса и уравнения Навье-Стокса, когда граница области может быть неодносвязна. В случае уравнений эллиптического типа и задачи Стокса показана скорость
ГЛАВА 2. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
#і(Я2) в Ні(Яя), причем
(2.11)
IIV/г,2||с = ||У*2Іе* < С2,<Н1*
Аналогично, выберем <Д > 0 такое, чтобы множество (7зП(7 С ОіисДДи С3) Сз = {:г : <їіН(х, 6Д) < <53). По теореме [ЗО, гл.111, 9.6] существует линейный ограниченый оператор Из распространения функций из Н (С'з) в Яі (Ю), причем
Г /г3 , т € 6?з :« ВД) = ^ 0, ХЄК?ОІ
[о, хедОзГдС {глА)
11 V Я:і 11 с; = IIУЯ31| £72 < Сз^-Ц/іфІІЯіІСз)
Положим в (2.10) V — Л-2 А Ы- Получим
((іі(х)УЛ.]1, У/ы А УЛ.з)с1 А (аі(х)У/г2 , У*2)с2 + 7(<Аг(ж)*2 , *2)с2+ («і(з:)У/г;{-, УЛ^)сэ +7(аг(а:)/*з ,Л^-)сз = 0.
Отсюда
11*2 По.С, + IIНо,С, <
|(а, (.т)УЛ.і1, УЛ.у + УЛ:і)Сі| < у^П*ч 1ко1|У*2 А УЛз||сг Для и Є Н{ 1Н!я гг) = 1|У^112С. + ІНІс- — —“О------------АН^Иос-•
пярСг) тгп (оц, 7Д2і)
Для Л,2 Є Яі (С2) и Л,з Є /Д(Яз), согласно (2.11) и (2.12) выполняются неравенства
11 УЛ'2 А УЛзІІс, < ||УД2|к + ||У*з|к <
с2,йІІ*2 ІІ//|«Я) + г:і.Л'||*.І||п,((7:і) < • /—===== ==г(1І*2 ІІО,ба + ||*3~1ксз)-
у/тгщап) 7а2і)
(2.14)
Оценим левую часть неравенства (2.13) снизу
(2.13)