Регуляризирующие алгоритмы вычисления аппроксимаций производной Радона-Никодима

• Автор: Басистов, Юрий Александрович
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 166 c. : ил

Задача вычисления производной Радона-Никодима двух вероятностных мер в бесконечномерных пространствах играет важную роль при изучении абсолютной непрерывности и сингулярности мер [ I ] •
фундаментальные статистические концепции и факты, как достаточная статистика, факторизадаонная теорема Неймана-Фишера, фишеровская информация о параметре, содержащаяся в наблюдении, неравенство Рао-Крамера, оценки максимального правдоподобия, которые образуют основу математического аппарата статистики, часто формулируются в терминах плотности одной меры относительно другой [2 Основополагающим фактором в теории приёма и передачи информации в системах радиосвязи, гидроакустики, сейсмологии, астрофизики является вычисление отношения правдоподобия или функции правдоподобия, т.е. производной Радона-Никодима двух вероятностных мер.
Используемый в настоящее время метод конечномерных распределений и мартингальной последовательности для вычисления производной Радона-Никодима не всегда позволяет конструктивно получить решение [3]. Например, явное выражение плотности одной меры относительно другой в бесконечномерных пространствах в настоящее время известно лишь для гауссовских, диффузионных и процессов с независимыми приращениями [2, с.516] . Поэтому в последнее время часто используют различные аппроксимации производной Радона-Никодима, учитывающие лишь моментные функции мер до опреде-
- 3 -
лённого порядка включительно [ 4 ]
Следовательно, становится актуальной задача разработки методов вычисления производной Радона-Никодима двух мер и её аппроксимаций, позволяющих использовать вычислительную технику и учитывать лишь конечное число параметров, задающих меры.
Ещё большие осложнения возникают при вычислениях производной Радона-Никодима двух мер, параметры которых подлежат оценке. Такие задачи встречаются при оценке параметров мер в метематичес-кой статистике, фильтрации в статистике случайных процессов, оценки параметров сигналов в теории связи и радиолокации, и в других задачах. Сложность состоит в том, что в бесконечномерных гильбертовых пространствах среди б* - конечных мер не существует меры, инвариантной относительно изометрических преобразований пространства. Более того, не существует 6 - конечной меры, для которой все меры, получаемые из данной путём всевозможных сдвигов пространства, были бы абсолютно непрерывны относительно некоторой исходной [1,5] .На этом пути становится актуальной задача построения множества допустимых сдвигов мер, на котором производная Радона-Никодима существует и единственна [ б]
Более того, известно [7-9] , что производная Радона-Никодима весьма чувствительна к сколь угодно малым изменениям мер или их параметров. Последнее приводит к неопределённости относительно решения задачи вычисления производной Радона-Никодима или её аппроксимаций. Т.6. не ясно, что считать решением при отсутствии устойчивости результата вычислений к сколь угодно малым изменениям исходных данных задачи. Последнее приводит к неопределённости решений задач математической статистики, технических задач радиосвязи, гидроакустики, сейсмологии и других, связанных с вычислением производной Радона-Никодима. Существующие методы стаби-
- 4 -
лизации решений часто теоретически не обоснованы, узко специальны и не выявляют непрерывной зависимости решений от изменений исходных данных задачи [10-12]. В некоторых случаях вычислительные трудности существующих методов [13,14]привели к эвристическим способам стабилизации решения [15]. С другой стороны, в настоящее время получили развитие методы решения некорректно поставленных задач. Поэтому актуальной становится задача разработки методов вычАения аппроксимаций производной Радона-Никодима, позволяющих получать единственное и устойчивое решение, как это делается в теории некорректно поставленных задач. Регуляризованная аппроксимация производной Радона-Никодима в конечномерном пространстве, по-видимому, впервые рассмотрена в [16], где использовалась статистическая регуляризация
[17,18] .
В данной работе вычисления регулярных аппроксимаций этой производной связаны с решением операторных уравнений первого рода в негативно-позитивных гильбертовых пространствах. Действительно, если уи , V две вероятностные меры в измеримом сепарабельном гильбертовом пространстве (Я,$) с С -алгеброй цилиндрических множеств такие, что абсолютно непрерывна относительно уи , то в силу теоремы Радона-Никодима [1,с.81] ^ (А) /“ (^х) для
каждого -измеримая функция ^(ос) = (с/)/с//ы)(х) , осе}
есть производная Радона-Никодима. Пусть 9(2) ,2бУ? характеристический функционал меры V . Он однозначно определяет эту меру [1,2] . Тогда 9(2) - ехр]1(2,х) I )(с/ос) , осе К , где (*,*)- ска-лярное произведение В К . Отсюда 9(2) = txpj I §>(Х)/“(с/х);
2ё ^ при ограничениях ^ (X) * 0, /х е ?{, ^Ос)$л(с/х) = i есть интегральное уравнение первого рода с вполне непрерывным оператором из всего 1г('Н/р) ъ1г(Ц/^. Решение такого уравнения некорректно по Адамару [*19,20] и к нему следует применять разработанные в настоящее время спецрегулярные методы, основанные на заме-
- 50 -
, Ц
г-*о
II - 10Ц_ = о
Введём числовую последовательность I об (/*) = оСл> 0 °°
* к.~Л
1ит о/«. - 0 при Ук - О и ей соответствующую последовательность решений ( ъ = 2уК1°° задачи (2.2.10) при связях
I» 0£ )
(2.2.II). Так как пространство Н- гильбертово, то из (2.2.16) следует существование подпоследовательности 9 { н* ]^°° :
^ > . Покажем, что II У0 - ?0 II0
Из уравнения Ак ^ > справедливого для
всех К '*• ] , имеем сбк)12к)1- - \ АК2К - Ык \ +
Далее, с учётом (2.2.4), (2.2.11) и (2.2.Х5) запишем
(2.2.17) (1/г) ас-хьс! 1(г*)Ц+ = НА г*-й 11+ *
* IIАгк-Акгкц+ + ЦАК2К- чкЦг + Ци^-ц Ц+ е <• ( /&* + ) II 2 о II- + 0 • _
Из выпуклости и дифференцируемости функционала / = - <2 <( ос У на Н- следует неравенство 0 6 Н 2К) - $■( г0) $
< У^О>с/Р(2к) ? £ у -£0 У * сцраведливое для всех точек
Переходя в последнем неравенстве к пределу при к —*■ , с зачётом (2.2.16), (2.2.17) и условия II ^ П~> 0 для всех а, 6(0,°°) ,
У = (к,%), имеем
(2.2.18) 6(2*) - 6 ( 2а) = ьн-б { /(2): 26 /С
Таким образом, последовательность ] с является минимизирующей для функционала $(ё), 2 е 7€- . Из (2.2.18) следует, что 6 (2Л) - £ ( 2а)
. Ввиду слабой сходимости последовак-о
тельности / £* к элементу К0£ГН. существуют выпуклые комбинации точек последовательности | 2* , к £ /г- } для любого числа п, £ (/2, ) , сходящиеся в норме пространства к элементу
И0б7(- , т.е. 2^*, = £ 2. :{С( >оП*,1?Сс =1.
цри любом /г- е/-С2, "• } , и Ц ККт ~ У0 I), - О • Последнее означает, что найдётся последовательность ) Я = 2/ (
I К J к-*