Алгоритмы построения сплайнов в выпуклых множествах и их приложения

• Автор: Ковалков, Александр Викторович
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1985
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 167 c. : ил

ГЛАВА I. ПОСТРОЕНИЕ СПЛАЙНОВ В ВЫПУКЛЫХ МНОЖЕСТВАХ
ПО ДИСКРЕТНЫМ ОГРАНИЧЕНИЯМ ТИПА НЕРАВЕНСТВ
§ I. Элементы линейной теории сплайнов
1.1. Алгоритм построения сплайнов на основе функций Грина
1.2. Сходимость сплайнов
1.3. Э*7 - сплайны и их сходимость
§ 2. Сплайны в выпуклых множествах. Существование, единственность. Характеризация
§ 3. Алгоритм построения сплайна по дискретным ограничениям типа неравенств
3.1. Характеризация решения. Эквивалентность задачи квадратичного программирования
3.2. Описание основного алгоритма
3.3. Вспомогательный метод
§ 4.Вопросы численной реализации алгоритма и
результаты экспериментов
§ 5.Дискретизация сплайнов с операторными ограничениями типа равенств
§ 6.Дискретизация сплайнов на выпуклых множествах. Теорема сходимости
ГЛАВА 2. СПЛАЙНЫ, УДОВЛЕТВОРЯЮЩЕ НЕПРЕРЫВНЫМ ОГРАНИЧЕНИЯМ
§ I. Постановка задачи. Структура решения
§ 2. Эрмитовы сплайны и задача с подвижной
границей

§ 3. Гладкость сплайна и индикатрисы свободных границ
3.1. Теорема об избыточной гладкости решения
3.2. Индикатрисы и алгоритм локализации свободных границ
§ 4. Эволюционные ограничения в задаче сплайн-аппроксимации
4.1. Постановка задачи с эволюционными непрерывными ограничениями
4.2. Непрерывность изменения тривиальных зон сплайна
4.3. Переход от тривиальных зон к нетривиальным и непрерывность изменения свободных границ
§ 5. Алгоритм построения сплайнов с ограничениями на функцию полиномиального и онлайнового типа
§ 6. Построение сплайнов, удовлетворяющих ограничениям на производные
6.1. Сведение дифференциальных ограничений к ограничениям на функцию
6.2, Характеристические свойства связанных параметров зон прилипания
ЛИТЕРАТУРА
ПРИЛОЖЕНИЕ I ПРИЛОЖЕНИЕ П ПРИЛОЖЕНИЕ Ш АКТЫ О ВНЕДРЕНИИ

Современная теория сплайнов является мощным математическим аппаратом обработки экспериментальных данных. Зародившаяся в работах Шенберга (1946) , как алгебраический способ построения гладких кусочно-полиномиальных восполнений сеточных функций,теория приобрела более общий характер после того, как был открыт вариационный принцип, которому подчиняются сплайн-функции (Дж.Холидей, 1957). В 1965 году М.Атья предложил общее определение сплайна, как элемента гильбертова пространства, доставляющего минимум функционалу типа энергии при выполнении обобщенных интерполяционных условий, задаваемых линейным непрерывным оператором. В 1966 году им же было введено понятие сплайна на выпуклых множествах [32], которые порождаются линейными ограничениями на функцию. В математическом смысле при конечном наборе ограничений - это задача о минимизации квадратичного функционала с нетривиальным ядром на выпуклом множестве типа многогранника. Наиболее подробно задача о построении сплайна в выпуклом множестве гильбертова пространства была исследована Лораном [21] на основе теории двойственности. При этом рассматривались, как дискретные, так и непрерывные ограничения на функцию и ее производные.
В алгоритмическом аспекте следует, по-видимому, разделить задачи о поиске сплайнов в выпуклом множестве на задачи двух типов. Первый класс задач связан с наличием конечного числа ограничений типа неравенств и сводится в точности к задаче квадратичного программирования при линейных ограничениях [12, 38] . Решение этих задач актуально по следующей причине. Сре-

неравномерную сетку (см. рис. 1.2), в ячейках которой содержится приблизительно равное число узлов.
X X X X X X X X X X х х X х х
X X X X X
X X
X X X
X X
X X X X X X X X X XX х х
Рис. 1
Пусть на некоторой подсетке ограничений построено приближение бп . Если оно не удовлетворяет некоторым ограничениям на всей сетке, то в каждой ячейке прямоугольного разбиения выберем ограничение, у которого расстояние между и максимально среди всех ограничений в этой ячейке. Добавив полученные таким образом ограничения к , получим £п+1
Осуществлена (Приложение Д) программная реализация алгоритма решения этой задачи на основе комплекта программ [ 4 ] предназначенного для построения интерполяционного сплайна на хаотической сетке для функций п переменных.
Ш. функционалы Еь из / могут быть различного типа.В частности, в предыдущих примерах этого параграфа в узлах сетки были заданы не только значения функции, но и их первые или вторые производные (в примере (П) это производные по заданным направлениям). Ясно, что не имеет смысла сравнивать разнородные величины отклонений. В этом случае итерационный шаг в предложенном алгоритме можно разбить на три части, и на каждом