Устойчивый метод решения линейных уравнений с некомпактными операторами и его приложения к задачам управления и наблюдения

• Автор: Потапов, Михаил Михайлович
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 261 с. : ил.

Оглавление
Введение
Глава 1. Линейные уравнения с неравномерными возмущениями в операторе. Вариационный метод
1.1. Описание метода и доказательство сходимости
1.2. Конечношаговая процедура решения вариационной задачи
1.3. Сумма гильбертовых постранств и связанное с ней отношение двойственности
Глава 2. Аппроксимация задач граничного Дирихле-управления и двойственных к ним задач наблюдения для волнового уравнения
2.1. Граничные управления из Ь2. Управляемость и наблюдаемость
2.2. Конструкция приближенных решений и их сильная сходимость
2.3. Задачи с Дирихле-управлениями из пространства Соболева и двойственные к ним задачи наблюдения. Применение вариационного метода
2.4. Задачи управления с частичными целями и двойственные к ним задачи наблюдения
Глава 3. Приближенное решение задач граничного управления и наблюдения для волнового уравнения с краевыми условиями второго и третьего рода
3.1. Задачи с нерегулярными граничными управлениями из пространства, сопряженного к пространству Соболева
3.2. Задачи с регулярными управлениями из Ь2 и соответствующие неравенства наблюдаемости
3.3. Сильная сходимость приближенных решений, построенных вариационным методом
Глава 4. Вариационный подход к решению двойственных задач зонного управления и наблюдения для волнового уравнения
4.1. Задачи с нерегулярными зонными управлениями и регулярными зонными наблюдениями
4.2. Неравенства управляемости-наблюдаемости для регулярных зонных управлений из Ь2
4.3. Приближенное решение задач зонного управления и наблюдения158
Глава 5. Вариационный метод в задачах граничного управления и наблюдения для уравнения колебаний четвертого порядка
5.1. Задачи с граничными управлениями смещением и изгибающим
моментом
5.2. Задачи с граничными управлениями в старших производных
Глава 6. Численные результаты для волнового уравнения с граничными Дирихле-управлениями
6.1. Задача с Дирихле-управлениями из Ь2
6.2. Дирихле-управления из пространства Соболева
Заключение
Литература

Введение
В настоящее время приближенные методы решения операторных уравнений, как линейных, так и нелинейных, образуют весьма представительный и вполне сложившийся раздел современной вычислительной математики. Основополагающий вклад в становление и развитие этих методов применительно к уравнениям с неточными данными внесли такие выдающиеся российские математики, как А.Н.Тихонов, М.М.Лаврентьев, В.К.Иванов [156, 95, 49]. Впоследствии их ученики и последователи В.А.Морозов, А.Б.Бакушинский, В.В.Васин, A.B.Гончарский, В.А.Винокуров, A.C.Леонов, А.Г.Ягола, Г.М.Вай-никко, В.Г.Романов, А.М.Федотов, Ф.П.Васильев, Ю.Л.Гапоненко, А.М.Депи-сов, А.Л.Агеев, С.Ф.Гилязов, М.Ю.Кокурин и др. [4, 6]-[9],[16]-[19, 21, 26, 27, 31]-[33],[36, 50, 82, 88, 96],[98]-[104],[115]-[117],[150, 157]-[159, 162, 165, 170, 174, 224, 230], а также зарубежные коллеги C.W.Gröetsch, H.W.Engl, М.Hanke, A.Neubauer [192, 182], детально проработали многие теоретические и практические аспекты данного научного направления и для случая линейных уравнений вывели технику построения устойчивых приближенных решений на очень высокий уровень. В частности, в [6]-[8, 17] описаны и исследованы целые классы методов регуляризации, вырабатывающие устойчивые приближения к нормальному решению при условии согласования значений регуляризирующих параметров априорным или апостериорным способом с имеющейся информацией о приближенных данных. Тем не менее, даже в этой тщательно и продуктивно исследованной области еще остаются недостаточно изученные классы задач, один из которых и стал главным объектом исследования в данной диссертации.
Внешне эти задачи имеют традиционный вид уравнения
Ли = / (1)
с линейным ограниченным оператором А £ L(H —> F), действующим в вещественных сепарабельных гильбертовых пространствах Н и F. Предполагается, что уравнение (1) имеет классическое решение, т.е. / принадлежит R(A) - образу пространства Н при отображении А. Решение может быть неединственным, поэтому для определенности ищется нормальное решение щ, имеющее минимальную Д-норму. Требуется построить устойчивые приближения к и* в условиях, когда вместо точных исходных данных А и / фактически доступны лишь некоторые их приближения А £ L(H —> F) и / £ F. Основные отличия постановки задачи (1) в настоящей диссертации от традиционной постановки заключаются в характере априорной информации

оптимальное значение функции д(х). Пусть Л > 0 и соответствующее решение ДА) уравнения (1.2.9) являются результатами применения к задаче (1.2.6) алгоритма при выборе параметров Ао > 0 и ё> 0. Тогда справедлива следующая оценка:
т(Л) - 7(Л*) тах{ 2г2Л0, 4(г - е)_1г(||С||г + ||Ь||)ё}. (1.2.10)
Доказательство. Оценка (1.2.10) нуждается в доказательстве только в случае Л > А*, так как функция 7(Л) = д(х(А)) является непрерывной и монотонно убывающей функцией переменной А > 0. Возьмем произвольное А > А*. Используя (1.2.9) и свойство коммутативности операторов (С + XI), (С + А/)-1, (С + А*/) преобразуем разность 7(А) — 7(А*) следующим образом:
7'(А)—7(А*) = {(С+А*/)ДА*), ДА*)-ДА))+А*||ДА*)||2-А||ДА)||2. (1.2.11) Принимая во внимание, что
ДА) = (С + Х1)~г(С + А*/)ДА*), (С + Х1)-С + Х1) = 1, (1.2.12)
продолжим преобразования в (1.2.11):
7(А) - 7(А*) - (А - А*)((С + АП)(С + А/ДА*), ДА*)>+
{(С + А/)-2(А*(С + А/)2-А(С + АД)2)т(А*), ДА*)) = (1.2.13)
(А - А*)((С + XI)-2 ((А + А*)С + 2АА*/) ДА*), ДА*)).
Мы предположили, что С 0, А > А* 0, поэтому
XI С + XI, А + А* < 2А, 2АА* < 2А2.
Подставляя эти оценки в (1.2.13), приходим к следующему заключению:
7(А) - 7(А*) 2(А - А*)||ДА*)||2 2г2(А - Л*). (1.2.14)
Если А* = 0, то алгоритм должен остановиться на шаге 2 с выходным
значением А = Ао > 0. В этом случае из (1.2.14) следует, что
7(А) - 7(А*) = 7(А0) - 7(0) 2г2А0. (1.2.15)
Если А* > 0, то алгоритм может остановиться как на шаге 2, так и на
шаге 3. Если он останавливается на шаге 2 со значением А = Ао > А* > 0, мы снова применяем (1.2.14) и получаем
7(А) - 7(А*) = 7(Ао) - 7(А*) 2г2(А0 - А*) < 2г2А0. (1.2.16)