Разработка алгоритмов переменной структуры для решения жестких задач

• Автор: Новиков, Антон Евгеньевич
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Красноярск
• Количество страниц: 123 с. : ил.

Оглавление
Введение

Глава 1. Контроль точности и устойчивости одношаговых методов

1.1. Основные определения

1.2. Контроль точности вычислений

1.3. Контроль устойчивости

1.4. Реализация явных методов с контролем точности и устойчивости

Глава 2. Алгоритмы интегрирования переменного порядка и шага

2.1. Алгоритм на основе схемы Фельберга пятого порядка

2.2. Алгоритм на основе схемы Фельберга седьмого порядка

2.3. Алгоритм на основе схемы Дорманда-Принса восьмого порядка
2.4. Результаты расчетов
Глава 3. Комбинированные алгоритмы интегрирования
3.1. Методы типа Розенброка
3.2. Класс (т,к)-методов решения жестких задач
3.3. Численное решение жестких задач с небольшой точностью
3.3.1. L-устойчивый (2,1)-метод
3.3.2. Явный метод второго порядка
3.3.3. Явный метод первого порядка
3.3.4. Алгоритм интегрирования переменной структуры
3.4. Комбинированный алгоритм третьего порядка
3.4.1 L-устойчивый (3,2)-метод
3.4.2. Явный метод третьего порядка
3.4.3. Явный метод первого порядка
3.4.4. Алгоритм интегрирования переменной структуры
3.4.5. Замораживание матрицы Якоби в (3,2)-методе
3.5. Комбинированный алгоритм четвертого порядка
3.5.1. Максимальный порядок точности (т,2)-методов
3.5.2. Z-устойчивый (4,2)-метод
3.5.3. Метод Мерсона с контролем точности и устойчивости
3.5.4. Явный метод первого порядка
3.4.5. Алгоритм интегрирования переменной структуры
Глава 4. Результаты расчетов практических задач
4.1. Дифференциальные уравнения химической кинетики
4.2. Пиролиз этана
4.3. Модифицированный орегонатор
4.4. Проникновение помеченных радиоактивной меткой антител в пораженную опухолью ткань живого организма
4.5. Кольцевой модулятор
Заключение
Список литературы

Введение
При моделировании кинетики химических реакций, динамики механических и электроэнергетических систем, химико-технологических процессов, схемотехническом проектировании радиоэлектронных схем и в других важных приложениях возникает проблема решения задачи Коши для систем дифференциальных уравнений вида [1-23]
у' = /(!,у), у&0) = у0,Г0<1<Ь, (1)
где у и/- вещественные У-мерные вектор-функции, t - скалярная величина. Учет большого числа факторов при построении математических моделей приводит к расширению класса задач, описываемых жесткими системами [3, 5— 6, 9-25]. Основные тенденции при построении численных методов связаны с решением систем большой размерности [1-3, 6-7, 12-14, 17-21]. Сложность практических задач приводит к возрастающим требованиям к вычислительным алгоритмам, поэтому проблема создания эффективных численных методов решения задачи Коши для жестких систем большой размерности является актуальной задачей. При построении эффективных алгоритмов интегрирования требуется разрешить ряд вопросов [1-5, 18-21]. Нужно выбрать методы, соответствующие решаемым задачам. Здесь рассматриваются одношаговые безытерационные схемы вида [5]
У*я=Уп + Ьф/(!*>Уп>Ь)> п = 0,1,2,-.. (2)
На некоторых задачах они имеют преимущество перед многошаговыми схемами [3-5, 11, 17-18, 20, 23], которые приводят к осреднению решения (срезание экстремумов), что при моделировании некоторых динамических объектов делает их неприемлемыми [4]. Если правая часть задачи (1) разрывная, то применение многошаговых методов малоэффективно [4]. Требование безытерационности (2) позволяет оценить затраты на шаг до проведения расчетов и упрощает программную реализацию [1-2, 23].
В последнее время появилось огромное количество методов

интегрирования жестких задач [1-5, 13-14, 16, 19-31]. Для перехода от идеи метода к его алгоритмической реализации нужно решить важный круг вопросов, связанных с изменением величины шага интегрирования и оценкой точности получаемых численных результатов [1-5, 13-14, 19-21, 32-47]. Современные способы управления шагом основаны, как правило, на контроле точности численной схемы [1—5]. Такой подход представляется наиболее естественным, поскольку основным критерием при проведении практических расчетов является точность нахождения решения. Многие алгоритмы интегрирования для выбора величины шага интегрирования используют оценку локальной ошибки или погрешности аппроксимации. Это оправдано тем, что если на каждом шаге контролировать некоторый минимальный уровень
локальной ошибки, то глобальная ошибка будет ограничена. Можно выделить три практических способа оценки данной ошибки [1-2].
Классическим является способ, основанный на экстраполяционной
формуле Ричардсона. Его еще называют правилом Рунге, и он заключается в следующем [5, 48-49]. В каждой "сеточной точке интервала интегрирования решение вычисляется с шагом к и 0.5/г, а искомая оценка определяется через разность приближений к решению. Недостатком способа является
необходимость дважды вычислять решение в каждой точке, что приводит к значительному увеличению вычислительных затрат.
Более дешевым является многошаговый способ [1-2, 50]. Он заключается в том, что одношаговой формуле р-го порядка точности в соответствие ставится многошаговая схема (р+1 )-го порядка. Затем данная схема преобразуется таким образом, чтобы после подстановки в нее приближений (2) получилась оценка локальной ошибки одношагового метода. Недостатком данного способа является многошаговость оценки, что приводит ко всем недостаткам
многошаговых методов.
В последнее время все большую популярность получает способ оценки локальной ошибки с помощью вложенных методов [5, 51]. Приближение к решению в каждой точке вычисляется двумя методами р-то и (р+1)-го порядков

и96 '

(X1 — 0, ос2 — , ОС^ — -д, сс4 — , ОС$ — -^21 ос6 — , ос7 — ,
ОС^ ^ ? ССд ,СС^|0 — ^>6^11 — 1,(ЗГ|2 — 0,^2 1?
$21 = ^’$31 ~ З5’$32 = ~’$41 = 24’$42 = ^’$43 = ^’ $51 ~И’$52 = $53 = ~нЬ$54 =Т|>$61 ~ 20’$62 = $63 =
$64 “4“’$65 = 5’$71 ~_щ|’$72 = $73 =®’$74 = {щ’$75 ='
$» =“.А. =^’$82 = Дз = Д4 =0,Д5 = ^,$86 :
13 о по о о о 23 о 704 _
$87 ~ 900 91 ~ $92 — $93 — ’$94 408 95 ~ 45
$97 = р0’$98 = 3)$10,1 = — у^>$10,2 ~ $103 = 0»$10,
$ю,5 = -^5’$10,6 ="54_,$10’7 =_60’$10'8 ~-^,$10-9:
в =2383 = __341 _ 4
11,1 4100 11,2 ,3 м'4 164 1,5 1025
2133 2133 45

$12,1 = 20^ ’$12,2 “ $12,3 = $12,4 = $12,5 ~^’Р2,6 =—'^'>$12,
3 3 6
$12,8 ” "^у’$12,9 =^>$12,10 =^>$12,11 = 0,$13,1 = —^
„ _ я п о 341 „ 4496 „ :
Аз,2 ~ Аз,3 - ’ Аз,4 — | 64 ’ А 3,5 — ^ ’Аз
2193 51 33
^13,7 =-4НЮ’^13'8 = 82,,/?13,9 =Тб4’$3,10 = = °
При значениях коэффициентов
(2.18)