Некоторые методы проекционного типа численного решения одного класса слабо сингулярных интегральных уравнений

• Автор: Яссер, Эльсаид Хуссейн Юссеф
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2015
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 112 с. : ил.

Оглавление
Введение
ГЛАВА 1. Слабо сингулярные интегральные уравнения, некоторые их свойства и методы решения

1.1 Интегральное уравнение переноса излучения

1.2 Некоторые свойства интегрального уравнения

1.3 Структура рассматриваемых методов проекционного типа

1.4 Методы, основанные на использовании оператора проектирования

на пространство кусочно постоянных функций и некоторые свойства оператора тть

ГЛАВА 2. Методы проекционного типа с использованием пространства кусочно линейных функций и оценки их погрешностей

2.1 Усредняющий оператор Ф1 и некоторые его свойства

2.2 Оператор проектирования тг1’ и некоторые его свойства
2.3 Оператор кусочно линейного интерполирования Ф и некоторые
его свойства
2.4 Методы с использованием усредняющего оператора аь и оценки
их погрешности

2.5 Классический метод Галеркина, его модификации и оценки их погрешности
2.6 Метод коллокации, его модификации и оценки их погрешностей
ГЛАВА 3. Методы численной реализации проекционных методов для решения интегрального уравнения переноса излучения
3.1 Теплицевы и циркулянтные матрицы
3.2 Циркулянтно предобусловленный метод сопряженных градиентов
3.2.1 Метод сопряженных градиентов
3.2.2 Сверхлннейная скорость сходимости метода СО
3.2.3 Предобусловленный метод сопряженных градиентов. . .
3.2.4 Циркуляттттто предобусловленный метод сопряженных градиентов
3.3 Численная реализация метода Галеркина с оператором V/! = тФ
3.4 Численная реализация метода Галеркина с оператором V = 7гл
3.4.1 Дискретизация интегрального уравнения
3.4.2 Разокаймление матрицы
3.4.3 Применение метода СРСД к решению системы с матрицей А„_1 = Тп_! — стоА„_1. Кластеризация
собственных значений
3.5 Численная реализация метода Галеркина с использованием усредняющего оператора сФ
3.6 Численная реализация метода коллокации
ГЛАВА 4. Результаты численных экспериментов

4.1 Тестовые задачи
4.2 Численные эксперименты по использованию метода СРСв
4.3 Численные эксперименты по применению проекционных методов для решения тестовых задач
Заключение
Литература

Доказательство. Заметим, что

(I - ah)/(r) = /(г) =
i>2h7+l/2 f{f(T)-f(T'))ei{T')dT'ei(T)- (2Л-2)
i=0 d

Поэтому при 1 < р < оо справедливо неравенство
|(/-^!)/(т)Г<
iZV+i/2 / 1/(т)-/(г,)1Ре-,(т')^Ч-'(^) EV+i/a [ e?(r')dT'ei(.T)
i=о J J L--n d

4 ' Л
Учитывая, что

Ц /li+l/2 / ei'(T') dT'ei(T) = e!'(r) = 1 (2л-3)
2=0 j,, г=
и интегрируя выведенное ттеравенство, приходим к оценке (2.1.1).
Пусть теперь / € Lco(J). Тогда
11(/ - vh)fhp(J) < u;p(f;Jh) <
Г п 1 1/р
< Y2 ess SUP l/(T0 - /(Т)1Р /г-;+1/2 < woc(/; Jh)rl,p-
^-г=0 J
Переходя к пределу при —> оо, приходим к оценке (2.1.1) с р = оо.
Следствие 2.1.1. Пусть / е Lp(J), 1 < р < оо. Тогда
p(j) -> 0 при hmax 0.
Доказательство. Поскольку пространство C(J) всюду плотно в LP(J), то для всякого г > 0 существует fc 6 C(J) такое, что ]|/ — /c||z, (j) < е. Поэтому
W-ah)f\LA.n < \(I-vh)(f-fe)\LAJ)+\(I-vh)MLp(.n < 2е+шМ; Jh)r^.