Ортогональная диагонализация двухдиагональных и якобиевых матриц с гарантированной оценкой точности

• Автор: Митченко, Александр Дмитриевич
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 136 c. : ил

ГЛАВА I. Вывод формул алгоритмов исчерпывания трехдиагональных симметрических и двухдиагональных матриц. Анализ погрешностей, связанных с неточностью решения уравнений относительно параметров, определяющих ортогональные преобразования вращения.

§ I. Алгоритм исчерпывания симметрической трехдиагональной матрицы

§ 2. Алгоритм исчерпывания двухдиагональной матрицы..

ГЛАВА 2. Решение уравнений для параметров, задающих ортогональные преобразования вращения, и их машинное вычисление.

§ 3. Решение уравнений для параметров, определяющих

преобразования вращения

§ 4. Машинное вычисление параметров, задающих преобразования вращения

ГЛАВА 3. Машинное вычисление цреобразованных матриц.

§ 5. Анализ погрешностей, возникающих при вычислении элементов преобразованной трехдиагональной
матрицы

§ 6. Машинное вычисление преобразованной двухдиагональной матрицы

ГЛАВА 4. Общие схемы алгоритмов исчерпывания трехдиагональных симметрических и двухдиагональных матриц.
§ 7. Общая схема исчерпывания симметрической трехдиагональной матрицы
§ 8. Общая схема исчерпывания двухдиагональной
матрицы
ПРИЛОЖЕНИЕ. Численный пример
ЛИТЕРАТУРА

Работа посвящена выводу нового варианта формул и анализу погрешностей при реализации так называемых алгоритмов ортогонального исчерпывания трехдиагональных симметрических и двухдиагональных матриц, с помощью которых достигается приведение этих матриц к диагональному виду. Если мы знаем собственное значение 2 симметрической трехдиагональной матрицы порядка Ш и соответствующий ему собственный вектор, то алгоритм исчерпывания позволяет с помощью подобных ортогональных преобразований вращения привести эту матрицу к клеточно-диагональной форме, в которой одна клетка является снова симметрической трехдиагональной матрицей порядка 171- i , а вторая клетка имеет порядок I и просто совпадает с 2 * Циклическое повторение процесса исчерпывания позволяет привести исходную матрицу к диагональной форме. Этот алгоритм хорошо известен и широко освещен в литературе, см., например, [I] . Вариант для сингулярного разложения двухдиагональной матрицы описан в [2]
При практическом применении известных реализаций алгоритмов исчерпывания иногда обнаруживается численная неустойчивость этих алгоритмов, состоящая в том, что окончательная форма преобразованной матрицы отличается от желаемой. В дис-вертации выясняются причины этой неустойчивости и приводятся способы их устранения. В результате разработаны численно устойчивые варианты алгоритмов исчерпывания трехдиагональ-ных симметрических и двухдиагональных матриц с гарантированной оценкой точности.
Продемонстрируем проблемы, возникающие при реализации алгоритмов исчерпывания, на примере симметрической трехдиагональной матрицы
с1{ к
к к к
От.-, кт.-, к
От. к.
, к*о
не имеющей нулевых элементов на побочных диагоналях,
Предположим, что нам известны собственное значение // этой матрицы и отвечающий ему собственный вектор ц = > СОпи) Т , так что имеют место равенства
(ж£- 1)^1+4^2=^
£я2,3,~,пг-^ (I)
щ. U'tть-i * ) ЮпЪ ~ 0 .
Традиционно алгоритм исчерпывания состоит в следующем
ложим Ц - а и подберем ортогональные матрицы вращения ( 2 £ и к щ )

II дЛ ± І7ШХ
ґи&у (І ас іїсі+і $>с+і Рс-<чІ), Шймч тах (іаЛсІ+Ііїс кі) гнкы

из которой в силу неравенств (2.6) следует
тол ( і&їі *
Голі. (Ш+ гьин
(2.23)
Далее, известно (см., например, [б] , § 3), что для нормы двухдиагональной матрицы /)• имеют место следующие оценки снизу
1ШЇЧІМ,
из которых очевидным образом следуют неравенства:
ш+ин-тм, шпитмі. (2-24)
Огрубляя с помощью этих неравенств оценку (2.23), получим:
/Ш№М.
Аналогичным образом получается оценка нормы матрицы :
ІІдгІЬ-ЇЇгІШІ.
В результате окончательная оценка нормы матрицы $ прини-