Метод конечных элементов в p-версии для краевой задачи с сингулярностью в решении

• Автор: Кашуба, Елена Владимировна
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Хабаровск
• Количество страниц: 98 с. : ил

Оглавление
Введение
Глава 1. Построение и исследование ортонормированной системы сингулярных полиномов
1.1. Построение ортонормированной системы сингулярных полиномов
1.1.1. Определение сингулярного полинома
1.1.2. Нахождение коэффициентов полиномов системы
{9п,^(а:)}п^= о
1.2. Рекуррентная формула для трех соседних орто-нормированных сингулярных полиномов
1.3. Аналог формулы Родрига
1.4. Квазиортогонапьность производных { 1.5. Соотношения между ортонормированными сингулярными полиномами и их производными
1.6. Дифференциальное уравнение для {<рП1/Дх)}£С0 ..
Глава 2. Метод конечных элементов в р-версии для одномерной
краевой задачи с сильной сингулярностью решения
2.1. Основные обозначения
2.2. Постановка задачи. Определение ГС-обобщенного решения
2.3. Существование и единственность Д„-обобгценно-
го решения
2.4. Регулярность Д„-обобщенного решения
2.5. Схема метода конечных элементов
2.6. Вспомогательные утверждения

2.7. Оценка погрешности аппроксимации в норме пространства Щ „+£/2(П)
Глава 3. Численная реализация р-версии метода конечных элементов для задачи с согласованным вырождением исходных данных и сильной сингулярностью решения
3.1. Постановка дифференциальной задачи
3.2. Алгоритм численного метода
3.3. Результаты численного эксперимента
3.4. Выводы об аппроксимационных свойствах р-вер-сии метода конечных элементов для задач с сингулярностью
Литература

Введение
Настоящая диссертация посвящена построению и исследованию схемы метода конечных элементов в р-версии на основе созданной ортонормированной системы сингулярных полиномов для одномерной первой краевой задачи с сильной сингулярностью решения, вызванной согласованным вырождением исходных данных в начале координат.
Исследование краевых задач для дифференциальных уравнений с особенностью (вырождением, сингулярностью) решения, а также разработка и обоснование методов численного анализа таких задач являются интенсивно развивающимися направлениями в современной математике. Первоначально основное внимание исследователей было сосредоточено на изучении краевых задач, в которых сингулярность решения вызвана наличием угловых или конических точек на границе области, а также сменой типа граничных условий. Так, в работах В.А.Кондратьева, П.Грисварда, В.Г.Мазьи, Б.А.Пламеневского, И.Бабушки и других авторов (см. [7]-[9], [62]—[65], [14]—[20], [23], [80], [46], [47], [72]) изучались вопросы разрешимости рассматриваемых краевых задач, исследовались дифференциальные свойства решений, строились асимптотические разложения решений в окрестностях угловых и конических точек. Однако, с середины 80-х годов прошлого века начинает развиваться теория краевых задач для линейных дифференциальных уравнений второго порядка с сильной сингулярностью решения, вызванной вырождением (или сингулярностью) исходных данных, т.е. коэффициентов уравнения, правых частей уравнения и граничных условий (см. [27], [28], [30], [31], [5], [74], [59], [81], [32], [85]).
Дифференциальные задачи данного типа возникают при построении математических моделей ряда процессов, изучаемых в та-

£2(Г)) - банахово пространство функций, квадрат модуля которых интегрируем по Н; норма имеет вид
И£,(0) = /| и(х)Чх.
Нк(и) - банахово пространство функций, которые вместе со всеми обобщенными производными до порядка к включительно принадлежат £2(П); норма и полунорма определяются равенствами
к , А1а,(*Л
I Нк(П)

/=0 о
й1и(х)

41 Нк(П) — /
у і йки(х)

При к— О Н0(П)=Ь2(П).
Нк (О) = {и(х) | и(х) е Нк(&), и(0) = и(1) = 0}, к > 1. Норма в Нк (П) имеет тот же вид, что и в Нк({7).
Весовое пространство 0^(0) (ту - вещественное число) с нормой
ІМІСтДП) = тах|р’7(х)гт(х)|.
Нк (£1) - весовое пространство С.Л.Соболева, которое (при фиксированном к > 0) является пополнением множества бесконечно дифференцируемых в О функций С°°(Н) по норме
N1Я|,(П) = Е /Р2(г>+1 к)(х)
1=0 и

где к - некоторое целое неотрицательное число, ту - вещественное. Будем использовать также полунорму в этом пространстве

= / р2х)
йки(х)

При к = 0 Н1п(П)=Ь2,г1(П).
Пусть ніП (£7) = {и(х) | и(х) є Я|^(Н), и(1) = 0), & > 1. Норма В #2 л(^) имеет тот же вид, что и в Нк ЛЄІ).