О решении некоторых задач динамики океана

• Автор: Друца, Алексей Валерьевич
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 144 с.

Оглавление
Введение
1 Существование «в целом» решения системы уравнений крупномасштабной динамики океана на многообразии

1.1 Постановка задачи

1.1.1 Основные обозначения

1.1.2 Система уравнений и краевые условия в инвариантной

(тензорной) форме

1.1.3 Система уравнений и краевые условия в координатной

(тензорной) форме

1.2 Подготовительные утверждения

1.2.1 Утверждения дифференциальной геометрии

1.2.2 Утверждения функционального анализа
1.3 Априорные оценки
1.3.1 Оценки для скорости, давления и плотности
1.3.2 Оценки для производных скорости и плотности по вертикали
1.3.3 Оценки для производных скорости и плотности по времени
1.3.4 Итоговые априорные оценки
1.4 Существование и единственность решения системы
1.4.1 Определение обобщенного решения
1.4.2 Единственность решения
1.4.3 Существование решения «в целом»
1.5 Выводы
2 Существование «в целом» и единственность решения систе-

мы уравнений крупномасштабной динамики океана в области с неровным дном
2.1 Постановка задачи
2.1.1 Построение системы уравнений для неровного дна
2.1.2 Используемые обозначения
2.1.3 Система уравнений с краевыми и начальными условиями
2.2 Априорные оценки
2.2.1 Основные используемые утверждения
2.2.2 Оценки для скорости, давления и плотности
2.2.3 Оценки для производных скорости и плотности по вертикали
2.2.4 Оценки для производных скорости и плотности по времени
2.2.5 Итоговые априорные оценки
2.3 Существование и единственность решения системы
2.3.1 Определение обобщенного решения
2.3.2 Единственность решения
2.3.3 Существование решения «в целом»
2.4 Выводы
Сходимость разностных схем для уравнений крупномасштабной динамики океана
3.1 Сетка, сеточные функции и операторы
3.1.1 Сетки
3.1.2 Сеточные функции и пространства
3.1.3 Сеточные операторы
3.1.4 Необходимые свойства операторов
3.2 Разностная схема
3.2.1 Система уравнений крупномасштабной динамики океана
3.2.2 Система уравнений разностной задачи
3.2.3 Аппроксимация
3.3 Априорные оценки
3.4 Существование и единственность решения разностной схемы
3.5 Сходимость
3.6 Выводы
Заключение

Приложения
А Численный эксперимент
А.1 Алгоритм решения сеточной задачи
А.2 Оценка числа арифметических операций и объема требуемой
памяти
А.З Результаты численного эксперимента
Список литературы

(Удгр, Ух) = ~(дгр, сМу (Уу)), (У „у, Ух) + (ь]дгх, Ух)
= ((и, УУ2) + К 32У2)) = ~ ((сИу и, У2) + (дгы, У2)) = 0.
(Ууи, У у) + (гс,<9ги, Ух) = —(и, УДУу)) — (и, УусНу у)
- ((Нуи, У2) = -(и,УДУу)) - (и, УусНу у) + (и,У(У2)).
В результате равенство (1.3.47) сводится к следующему
^||М и +1 ||УУ||2 + |||9Ур + ЦУ, (У^2) + -(V, (ЗД2) =
- (£у, Уу) +7(<Эгр, сНу(Уу)) + (и, Vv(Уv)) + (и, УусНу у) - (и, У(У2)).
(1.3.48)
Теперь оценим каждое слагаемое, стоящее в правой части (1.3.48), через нормы, стоящие в левой части (1.3.48).
Пользуясь оценкой (1.3.6) для дгр, получаем
7|(<9*р,сНу(Уу))| ^ с\д2р\4\Х7У\\уи ^ г||УУ||2 + с||у||^.
Для оценки следующих слагаемых применяем неравенство Гёльдера с показателями (4,4,2), утверждение 1.2.6 и неравенство Юнга с показателями (8/7,8)
I (и, Уу(Уу)) + (и, УусНу у) - (и, У(У2))| < с||и||4||УУ||||у2||
< с(||УУ|| + 1И1)(|^У||3/4 + ||.9гУ||3/4 + 1И|3/4)||У||1/
< е||УУ||2 + £х\дхУ\2 + с[|у||| + с.
Взяв 2е = д/4 и £ = у/А, из равенства (1.3.48) получим неравенство
^1М14 + д1^У||2 + ^||52У||2 + д(У, (Уу)2) + и(У, (52у)2) ^ с||у||4 + с.
(1.3.49)
Из неравенства Гронуолла следует первое неравенство данной теоремы, с учетом которого интегрирование по [О, Т] неравенства (1.3.49) приводит ко второму неравенству из условия теоремы. Таким образом, теорема доказана.