Ускорение сходимости методов обращения преобразования Лапласа

• Автор: Кабардов, Муаед Мусович
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 96 с.

Содержание
Введение
1 Методы обращения преобразования Лапласа
1.1 Дельта-иоследонательности
1.2 Замена интегрального уравнения конечной СЛАУ
1.3 Специальные разложения
1.4 Построение квадратур для интеграла Римана-Меллина
1.5 Другие методы
2 Преобразование Эйлера-Кноппа
2.1 Регулярность преобразования Эйлера-Кноппа
2.2 Вычисление коэффициентов преобразованного ряда
2.3 Аналитическое продолжение гииергеометрического ряда
3 Ряды Лагерра и ускорение сходимости с применением преобразования Эйлера-Кноппа
3.1 Преобразование ряда Лагерра
3.2 Выбор параметра суммирования
3.3 Решение задачи в исходной плоскости
4 Геометрическая интерпретация метода Пиконе-
Трикоми
4.1 Одна теорема о сходимости ряда Лагерра
4.2 Скорость сходимости ряда Лагерра и отображение плоскости изображения
4.3 Оценка ошибки и выбор параметра 6 в частных случаях
5 Вычисление скачков оригинала
5.1 Дельта-ядро метода
5.2 Формула для вычисления скачков оригинала
Литература

Введение
Интегральное преобразование Лапласа

F(s)= / e~stf(t)dt, (1)

где функция F(s) — изображение, f(t) — оригинал, представляет собой мощный инструмент для решения широкого класса прикладных задам математической физики. Одним из его главных достоинств является алгебраизация процедур математического анализа, с помощью которой удается свести интегральные и дифференциальные уравнения к более простым. Кроме того, изображение Лапласа является аналитической функцией в некоторой полуплоскости Res > Л, что позволяет привлечь к исследованию решаемой задачи результаты теории функций комплексного переменного.
Как правило, при решении задач операционными методами наиболее трудным этапом является процесс обращения, т. е. возврат от изображения к оригиналу. Существуют таблицы [б] соответствия функций-оригиналов и их изображений, "теоремы разложения", формула обращения Римана-Меллина, позволяющие точно или приближенно находить оригинал. Но решение практических задач приводит к изображениям, к которым не могут быть применены эти "классические" приемы обращения. Например, явный вид изображения может быть неизвестен, если уравнение оказалось неразрешимо в явном виде относительно изображения или содержит не выраженные аналитически компоненты. Если даже получено аналитическое представление изображения, может оказаться нецелесообразным применять точные методы обращения ввиду
громоздкости формул для числового обозрения.
В этой связи разными авторами были предложены несколько десятков приближенных методов обращения (см., например, [1-4, 16, 18, 20-32, 47, 49, 57, 69, 71, 76, 78, 84]). До настоящего времени разрабатываются новые и совершенствуются существующие численные методы обращения, но надежного во всех случаях алгоритма восстановления оригинала мы не имеем. Дело в том, что задача обращения, т. е. решения интегрального уравнения (1) первого рода относится к классу некорректных задач. Последние характеризуются неустойчивостью при вычислениях и для их решения необходимо использовать тот или иной метод регуляризации. Это, в свою очередь, требует привлечения дополнительной информации о структуре задачи. Так как учесть все особенности, влияющие на неустойчивость, очень трудно или вообще невозможно, приходится сужать класс изображений (или оригиналов) и разрабатывать специальные методы обращения.
При построении методов обращения, как правило, исходят из того, чтобы метод был точен для функций некоторой заранее фиксированной системы. Если искомый оригинал представйм в виде разложения по этой системе функций, то можно надеяться на получение удовлетворительного приближения к нему в результате применения таких методов.
После построения вычислительного метода должно следовать выяснение
— условий сходимости,
— устойчивости,
—грудоемкости построения и фактической реализации,
Но эта формула неустойчива при вычислениях. Вместо нее обычно применяют приближенные методы вычисления йк (см., например, |2]). Один из них основан на построении интерполяционного процесса для функции (р(г). Узлы интерполирования выбирают так, чтобы обеспечить равномерную сходимость многочленов к предельной функции на некотором множестве, выбор которого диктуется постановкой задачи. Часто в качестве узлов для многочлена п-й степени берут корни из единицы (га + 1)-й степени. Это обеспечивает равномерную сходимость интерполяционного процесса внутри единичного круга и позволяет привлечь к нахождению коэффициентов и оценке их погрешности хорошо развитые методы гармонического анализа.
Значения Ак(р), которые нам и нужны, находятся затем по формуле
(52). При этом происходит излишняя потеря точности. Чтобы избежать этого, введем новую переменную и) = г/( 1 ~рг) и, пользуясь равенством
(53), запишем
(ч ОО
—) = (1 + рш) Ак(р)и)к.
Р ' к=О
Рассмотрим функцию
Ф(ш) =
1+ргп 1+ргп]
При требовании регулярности преобразования Эйлера-Кноппа выполнено неравенство |р| < |/,°| < 1 и на замкнутом круге |ш| < 1 коэффициент 1/(1 + рги) регулярен. Далее, при отображении 2 = ш/( 1 +рю) круг |ш| < 1 переходит в "круг" |р — 1/г| > 1. В плоскости (4) (при отображении Ь — 1/г) ему соответствует "круг" Ь — р > 1. Вспомним, что все особые точки tj функции <р(1Д) содержатся в пересечении кру-