Разработка и исследование новых численных методов с расщеплением граничных условий решения нестационарной задачи Стокса

• Автор: Соловьев, Михаил Борисович
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 89 с. : ил.

Оглавление
Введение

1. Случай задачи в полосе в К2 при условии периодичности задачи вдоль полосы

1.1. Алгоритм итерационного метода с расщеплением граничных условий на дифференциальном уровне

1.2. Первая (простейшая) численная реализация

1.3. Численные исследования первой численной реализации

1.4. Вторая численная реализация (на основе разностной схемы Кранка-Николсон)

1.5. Третья численная реализация (на основе неявной трехслойной разностной схемы)

1.6. Численные исследования второй и третьей численных реализаций

Выводы
2. Случай осесимметричной задачи в зазоре между коаксиальными цилиндрами при условии периодичности ее вдоль цилиндров
2.1. Постановка задачи
2.2. Алгоритм итерационного метода с расщеплением граничных условий на дифференциальном уровне
2.3. Используемые дискретизации отщепленных задач
2.4. Алгоритмы численных реализаций
2.5. Результаты численных экспериментов
Выводы
Заключение
Литература

Введение
Актуальность работы. Хорошо известно, что численное решение системы уравнений Навье-Стокса, описывающей динамику вязкой несжимаемой жидкости [1,2], является весьма важным для целого ряда практически значимых приложений и вместе с тем представляет собой одну из чрезвычайно сложных проблем вычислительной математики и математической физики. В мире имеется и постоянно появляется очень большое число работ и монографий, посвященных этой проблеме. Не имея возможности дать здесь хоть сколько-нибудь краткий их обзор, отметим лишь несколько (одних из первых) монографий [3-6].
Настоящая работа посвящена разработке и исследованию новых численных методов решения первой начально-краевой задачи для нестационарной системы Стокса (нестационарной задачи Стокса)
dtu — z/Aj.u + Vxp = f, divx u = 0, (£, x) u|(0,Dxr = g, u|t=0 = а(ж), Jpdx = 0 V£<=(0,T), (2)

J (g, n) ds = 0 Vi€(0,T), g|t=o = a|r, div3;a = 0, x 6 ft, (3) г
где Cl — область в IRC, Г — граница С, х = (од,хп), п — единичный вектор внешней нормали к Г, и > 0 — кинематическая вязкость, u = ...,un(t,x)), р = p(t,x) — искомое решение (скорость и дав-
ление), вектор-функции (ВФ) f = (/*(£, х),fn(t,x)), (£, х) е (0, Т) х Г2, g = (g1(t,x),...,gn{t,x)), (t,x) в [0,Т) х Г, а = (а1^),...,ап(х)), х Е П — данные задачи (соответственно, поле внешних сил, заданные значения вектора скорости на Г и начальное значение вектора скорости). Первое условие в (3) — необходимое условие разрешимости задачи, предпоследнее же условие в (3) — условие согласования начального и граничного данных при £ = 0. Система уравнений Стокса (1) представляет собой линеаризацию полной системы Навье-Стокса, получаемую отбрасыванием нелинейного конвективного

члена в уравнении движения, и описывает течения вязкой несжимаемой жидкости при малых числах Рейнольдса [1]. Создание эффективных и надежных численных методов решения начально-краевых задач даже для такой существенно более простои (по сравнению с полной системой Навье-Стокса) системы, тем не менее, и в настоящее время представляет собой весьма сложную и актуальную проблему, связанную с необходимостью преодоления целого ряда принципиальных трудностей.
При непосредственном численном аппроксимировании (по пространству) начально-краевой задачи (1)-(3) требуется удовлетворять специальным условиям устойчивости, известным под названием условий Ладыженской-Бабушки-Брецци (ЛББ), см. [4,7]. Эти условия по сути дела являются условиями согласования (в определенном смысле) используемых конечномерных аппроксимаций операторов Лапласа, градиента и дивергенции. Они весьма трудно проверяемы. На данный момент известно совсем немного разностных или конечно-элементных (КЭ) схем, удовлетворяющих ЛББ-условиям. В случае конечно-разностных аппроксимаций это, например, семейство схем типа МАО на смещенных прямоугольных сетках [7-10]. В случаях же конечноэлементных аппроксимаций, удовлетворяющих ЛББ-условиям, компоненты скорости и давление, как правило, аппроксимируются КЭ различных типов. При этом давление обычно аппроксимируется с более низким, чем для скорости, порядком точности по шагу пространственной сетки, и причем достаточно специальным образом [11]. Ряд примеров ЛББ-устойчивых КЭ-схем приведен в [11]. К числу ЛББ-устойчивых схем относятся, например, получившие достаточно широкое применение КЭ-схемы, использующие неконформные КЭ типа Крузе-Равиа [12,13].
Эффективное разрешение разностных схем, возникающих в результате ЛББ-устойчивых численных аппроксимаций начально-краевой задачи (1)—(3), представляет собой самостоятельную, довольно непростую проблему. Неявные дискретизации по времени задачи (1)-(3) приводят на каждом временном слое (при использовании тех или иных дискретизаций по пространству) к системам линейных алгебраических уравнений с седловым опе-

Таблица 1.

1 2 4 8 16 24 32 48 64 96 128 192
32 15.1 9.68 6.43 4.23 2.
64 15:3 10.5 8.39 7.56 6.83 3.12 2.
128 13.8 10.6 8.58 7.88 11.2 12.8 9.07 3.2 2.
256 13.2 10.6 8.43 7.61 7.99 9.22 11.9 21 11.2 3.21 2.
512 12.9 10.5 8.29 7.42 7.34 7.51 7.84 9.12 11.9 40.5 11.6 3.21 2:
мальной составляющей скорости на границе. Численные исследования показывают, что для рассматриваемых в настоящей работе численных реализаций этого метода имеет место предельный переход
1 ЛГ‘"1 / . . . N
Е (и3& - &2) -0 при У —> оо,
" Ы г ш=1 л=0 л=0,лг
(1.41)
— в некотором смысле аналог (1.40). Тогда следует ожидать, что ошибки численных приближений к скорости и давлению (в некоторых нормах) оцениваются (с некоторой постоянной) через ||5гх2,лг||г- Это делает разумным определение коэффициента уменьшения ошибки (КУО) за У-ю итерацию любой из рассматриваемых численных реализаций как отношения ||5«2д||г/||5и2,у+1||г, где 11^2,Аг||г определены в (1.41). Под КУО за 1 итерацию любой из этих численных реализаций далее будем понимать показатель, характеризующий “в среднем” убывание ошибки за 1 итерацию и вычисляемый как среднее геометрическое значений КУО по первым 10-ти итерациям.
Приведем результаты серии численных экспериментов на основе теста (1.38), демонстрирующие скорости сходимости первой численной реализации на различных дискретных гармониках по переменной х. В табл. 1.1 приведены значения КУО за 1 итерацию первой численной реализации, отвечающие различным значениям параметра к в (1.38) на пространственно-временных сетках различных размерностей У х N х У, при и = 10~2, j = 30, Т — 1. Ввиду того, что базисной системой дискретных гармоник по переменной х на сетке с шагом 1/У является система экспонент ег2ггЛ'УЛ/ ]' Е Ъ,