Оценки погрешности численного интегрирования квазилинейных гиперболических уравнений

• Автор: Мищенко, Виктор Васильевич
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1985
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 109 c. : ил

§1. Постановка задачи и основные предположения

§2. Соотношение для погрешности дивергентных монотонных разностных схем в области гладкости решения задачи Коши

§3. Условие (А) и его следствие

§4. Об одной задаче из теории случайных блужданий..

§5. Исследование одной стандартной ситуации

§6. Оценка погрешности при условии (А)

§7. Лемма локализации

§8. Об оценке погрешности в случае, когда границами области гладкости являются характеристики

§9. Оценка погрешности схемы Лакса

§10. Оценка погрешности трехточечных схем

§11. Оценка погрешности при условии выпуклости

§12. Оценка погрешности дивергентных монотонных
разностных схем при условии (А)
§13. Главный член погрешности
ЛИТЕРАТУРА
- 3 -
Проблема обоснования' численных методов решения квазилинейных гиперболических уравнений представляет собой одну из важных задач современной вычислительной математики. Интерес к этой проблеме обусловлен широким распространением таких уравнений в качестве модельных для системы уравнений газовой динамики 25,26 . Сложность этой задачи связана с недостаточной разработанностью математического аппарата исследования квазилинейных уравнений.
В частности, еще не получены общие теоремы существования и единственности решения задачи Коши для системы квазилинейных уравнений первого порядка. В отличие от систем, для одного уравнения доказаны теоремы существования и единственности, а также получены оценки погрешности широкого класса приближенных методов расчета слабых решений задачи Коши.
Развитие теории квазилинейных гиперболических уравнений началось в 50-х годах с работы Э.Холфа [35], в которой построено разрывное решение задачи Коши для одного специального уравнения.
В дальнейшем эта теория получила развитие в работах А.Н.Тихонова, А.А.Самарского [31], П.Лакса [36], 0.А.Олейник [22,23], И.М.Гель-фанда [в], А.С.Калашникова [э]. В последующих работах Н.Н.Кузне-цова [14,15], А.И.Вольперта [?], Е.Конвея, Дж.Смоллера [33],
С.Н.Кружкова [Ю-13] доказаны теоремы существования и единственности задачи Коши для одного многомерного квазилинейного уравнения, что привело к созданию в 1960-1975 годах сравнительно законченной теории обобщенных решений таких уравнений. Что касается систем квазилинейных гиперболических уравнений, то одним из центральных результатов остается теорема Глимма [34], в которой доказано существование обобщенного решения задачи Коши в предполо-

жении малости нормы и вариации начальной функции.
Начало исследованию сходимости решений разностных схем положила работа Н.Д.Введенской [а], в которой при условии выпуклости доказана сходимость решения схемы Дакса к обобщенному решению задачи Коши в норме ^ (Пт), Пт=[о/т]* .В работе Н.С.Бахвалова [2] впервые получена оценка погрешности схемы Дакса для строго выпуклого случая, а В.В.Разумейко [24,25] обобщила этот результат на случай выпуклости с вырождением. Н.Н.Кузнецов [16-21] , используя введенное им новое понятие погрешности метода, доказал общие теоремы об оценке погрешности приближенных методов решения задачи Коши в норме ^ (ЯИ) в многомерном случае, что позволило получить оценки погрешности широкого класса дивергентных монотонных разностных схем без предположения о выпуклости. В работах С.А.Во-лошина [б,б] теоремы Н.Н.Кузнецова конкретизированы на случай неявных схем.
С практической точки зрения часто оказывается полезным иметь оценки погрешности в равномерной метрике. В диссертации в случае одномерного квазилинейного уравнения указанные оценки погрешности
получены для ряда явных дивергентных монотонных разностных схем в предположении наличия области непрерывной дифференцируемости решения задачи Коши.
Основой для получения оценок в равномерной метрике в работе служат оценки погрешности в норме У, ((У) [19,20]. Следует отметить, что цри таком подходе основную трудность составляет получение предварительной оценки погрешности вида ее) I ^ С, где - погрешность в точке (£, X) , а постоянные С и оС определяются в зависимости от поведения решения вблизи боковой границы области непрерывной дифференцируемости. Среди известных автору работ

до их пересечения в точке Р (здесь Га] - целая часть числа а). Найдем точки ^('Г.Се) и пересечения прямой АР сіривой ЯК’ (рис.З). Проведем прямую ~Ъ
_ Г УУШїх 1 п- _ . г _ ±° о п'
- і - ] ^ — /1,4. - г, . Обозначим Ц и о, - точки
пересечения этой прямой с прямыми ДР и В> Р , соответственно,
і Ц - точки пересечения этой прямой с кривыми Д., Д.,
и В, в; соответственно. Через точку 0^ (соответственно )
К. и о;)
проведем прямую

параллельно прямой
ко У
(соответственно ). Обозначим Г, (Я/)
, г
_£0 /• и«иошіші і у V і < / точку пересечения прямой (Хг,) с прямой АР (соответственно ВР ).
Положим

'ІУ1
= -Лї * (У+ВОн