Прямые методы решения интегральных уравнений и приложения

• Автор: Касьянов, Владимир Ибрагимович
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Альметьевск
• Количество страниц: 172 с.

ОГЛЛВЛЕНИЕ

Введение

Глава I.Общая теория приближенных методов

§1. Прямые методы решения операторных уравнений

§2 .Общая теория приближенных методов

§3.Оптимизация прямых проекционных методов решения линейных операторных уравнений

§4.0 квадратурных формулах

Глава ЪЛрямые методы приблиэ/сенн ого решения одномерных сингулярных интегральных уравн ении 3

§1.Постановка задачи Рнмана

§2.Квадратурные методы решения краевых задач Римана на полуплоскости
§3.Итерационные методы решения краевых задач Римана
§4. Прямые методы решения сингулярных интегральных уравнений
§5.0 методе моментов для приближенного решения сишулярных интегро-дифференциальных уравнений на вещественной оси
§6.Итерационные метода решения с.и.у.
§7.06 оптимизации прямых методов решения сингулярных интегральных уравнений
§8.Прямые методы решения с.и.у.в вырожденном случае
§9.Некоторые замечания и дополненияСингулярные итегральные уравнения с неотрицательным индексом и прямые методы их решения
Глава ЪЛСраевые задачи Римана на бипалуплоскости и бисингулярные интегральные уравнения
§1.Краевые задачи Римана на биполуплоскости.Вырожденные задачи
§2. Квадратурные методы решения вырожденных задач Рнмана первого рода
§3. Прямые метода решения линейных бнсингулярных интегральных уравнений и краевых задач Римана на биполуплоскости
§4. Краевые задачи Римана с дифференциальными операторами и прямые методы их решения
§5.0нтимизация прямых методов решения многомерных с.и.у.

§6. Преобразование Фурье. Эквивалентность уравнений типа свертки и краевых задач Римана на биполуплоскости
§7 Дискретные уравнения типа свертки
§8.0 некоторых вариантах итерационных методов решения полных вырожденных бс.и.у. первого рода
§9. Некоторые достаточные условия однозначной разрешимости многомерных уравнений типа свертки
§10.Прямые методы решения полных бисингулярных интегральных уравнений с вырожденной характеристической частью в случае неотрицательных частных индексов
Глава 4 Приложения: интегральные методы в теории дифракции. Решение некоторых задач математической физики
§1.1 !лоские волноводы с неоднородностями
§2.Обоснование интегральных методов расчет а дифракционных отражательных решеток
§3 Дифракция электромагнитных волн на прямоугольном диэлектрическом клине
§4.Краевые задачи Римана на биобластях и уравнения математической физики 155 Литература

ВВЕДЕНИЕ
Интегральные уравнения используются как основа математического моделирования для достаточно широкого круга прикладных задач (электродинамики, теории упругости, гидро- и аэродинамики и т.д).
Данная работа посвящена решению вопросов исследования прямых методов решения сингулярных интегральных уравнений (с.и.у.) и некоторых их приложений.
Общая теория одномерных с.и.у. в гельдеровскнх классах н в классах функций, интегрируемых по Лебегу с весом функций, изложена в монографиях Ф.ДГахова [44,46],
Н.И. Мусхелишвили [117], Л.И. Чибриковой [154],В.А. Какичева [71]ДПрёссдорфа [128].
Актуальными остаются вопросы теоретического обоснования приближенных методов решения таких уравнений,а также - задач, приводящихся к решению таких уравнений.Сразу отметим,что в данной работе прежде всего исследуются прямые методы решения краевых задач Римана в неограниченных областях и связанных с ними сингулярных интегральных уравнений.Теоретическнм обоснованием прямых методов решения сингулярных интегральных уравнений на конечных контурах занимались многие авторы(см.,напр.,ряд работ Б.Г. Габдулхаева [28 - 41,В.В.Иванова[59,60], Р. Прёссдорфа [128,1790], Н.Я. Тихоненко [144-146],И.К.Лифанова [108] (обзор имеющихся результатов см. в [37,40,128]). В отличие от всех этих результатов, в том числе и от выше упомянутых) нами наряду с теорией таких уравнений [45,465,73,74,154] существенным образом используются соответствующие результаты по рациональной аппроксимации функций и интегралов по вещественной оси [1,78-81,88,124].
В настоящий момент наибольший интерес у физиков вызывают интегральные методы электродинамики, основанные на интегральных уравнениях. Это вызвано прежде всего тем, что имеется хорошо разработанная теория таких уравнений и наработана практика их численного решения (см.,напр.,[3,4,8,26-27,34,40,41].К интегральным методам решения проблем дифракции обращались многие авторы. Так, напр., в [2] рассмотрен случай дифракции на незамкнутых поверхностях. Различные алгоритмы расчета дифракционных решеток на основе интегрального метода в СВЧ-диапазоне были предложены в работах Шестопалова В.П. (см.,напр.,[25,157-161]) и его учеников, Ильинского А.С. и его учеников [63-67] н многих других [9-10,13-21,52-56,127,141,142,153,156,166].
Основной целью диссертационной работы является:
Отметим что, X* (О) вычисляется при помощи СохоцкогоПлемеля, к.ф. (1.4.4), а ак(г) при помощи соотношений (2.2.3) и
1 7Ч(хМт 2т 1. z-z
*« + <=£,« Z-; Ъ 2i
%(*) , H)k
-+—T—,zeZ ,
(2.2.4)

2ir; i. z-z
2^),z6Z+;
Теорема 2.1.Пусть^(Г),G(t) e H9(M),0 < p < 1, G(0 /- 0/ e R , к = ind G(t) г 0 .Тогда для приближенного решения задачи (2.1.1), (2.1.2), построенного при помощи соотношений (2.1.5)—(2.1-9) справедлива следующая оценка погрешности:
| <Р±(2)- Фi (z) 1= 0(n~9ln2n),z е Z±.
Доказательство. Пусть ге Z1. Тогда
!ф+(2)ф:(2)Н
X+(z){ JT+(z){ 4£(z) + P^Z)
(Z + /T
(z+if
й| Т1(2) + ^(~ } |+ Х;(аЯ ('Т + (г)-Ч'„+(2))н-^^ } [
(2 + // (2+
Далее,следуя [129],из принципа максимума модуля аналитических функций,формул Сохоц-кого-Илемеля и [124]
(Х+ (г) - X* (z)){
= 0(n р1пя).
Аналогично,с учетом принципа максимума модуля аналитических функций, формул Сохоц-кого-Племеля, последовательно находим