Изучение и применение параллельных алгоритмов для решения уравнения Больцмана

• Автор: Забелок, Сергей Александрович
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 128 с. : ил

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. СХЕМЫ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ДЛЯ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНА

1.1. Постановка задач для уравнения Больцмана

1.2. Консервативная схема расщепления

1.3. Описание детерминистического метода

1.3.1 Использование в алгоритмах матриц коэффициентов квадратичных форм детерминистического метода

1.4. Модификация детерминистического метода для задачи об изотропной релаксации

1.5. Консервативная коррекция

ГЛАВА 2. СТРУКТУРА, СПОСОБЫ РЕАЛИЗАЦИИ И СВОЙСТВА ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ АЛГОРИТМОВ

2.1. Основные положения
2.2. Параллельные алгоритмы для метода прямого численного решения уравнения Больцмана
2.2.1. Распараллеливание по точкам физического пространства
2.2.2. Распараллеливание по точкам скоростного пространства
2.3. Реализация алгоритмов на машине РАЯЗУТЕС
2.4. Количественные характеристики алгоритмов
ГЛАВА 3. ПОЛУЧЕНИЕ ТЕСТОВОГО РЕШЕНИЯ С ЗАДАННОЙ ТОЧНОСТЬЮ
3.1. Постановка задачи
3.2. Исследование порядка аппроксимации численного метода

3.2.1. Аппроксимация в скоростном пространстве
3.2.2. Аппроксимация по времени и консервативная коррекция
3.3. Построение тестового решения с фиксированной точностью
и изучение сходимости численной схемы
ГЛАВА 4. ПРИМЕНЕНИЕ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ АЛГОРИТМОВ ДЛЯ ЗАДАЧ РАЗЛИЧНОЙ РАЗМЕРНОСТИ
4.1. Решение релаксационных задач детерминистическим методом
4.2. Решение пространственно неоднородных задач детерминистическим методом
4.3. Решения, полученные методом Монте-Карло
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ПРИЛОЖЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА

ВВЕДЕНИЕ
Основным уравнением, описывающим течения разреженного газа, является кинетическое уравнение Больцмана [1-3]. Важность решения этого уравнения стала ясна в последние десятилетия в связи с развитием авиации, космонавтики, с исследованиями в области различных новых (в том числе вакуумных) технологий на микроскопических масштабах, в связи с моделированием процессов в средах, находящихся в неравновесных состояниях. Уравнение Больцмана занимает промежуточное положение между молекулярным и сплошносредным описанием и может служить базисом для рассмотрения математических и физических проблем на макромасштабах.
При решении этого сложного интегро-дифференциального уравнения с 7 независимыми переменными (в общем случае) возникают серьезные трудности. Несмотря на развитие методов статистического моделирования [5-6, 27-30] и прямого
интегрирования [4, 9-18, 31-52, 56-59] проблема создания эффективных численных схем весьма актуальна. В связи с развитием многопроцессорной техники с параллельной обработкой информации разработка параллельных алгоритмов для решения уравнения Больцмана является одним из важнейших направлений исследований по данной проблеме. Метод прямого интегрирования изначально предполагался нацеленным на возможность параллельных вычислений, поскольку используются однородные схемы. Однако до настоящего времени предложенные параллельные алгоритмы исследовались лишь на малом количестве процессоров и для простейших задач [74-75]. Поэтому создание и исследование

пространство Я, элементами которого'являются М-мерные векторы с действительными компонентами, и в котором вводится скалярное произведение

(Х’У )=2/(*ВД-

Все аксиомы скалярного произведения, очевидно, выполнены.
Рассмотрим в Н следующие векторы: е0 - вектор со всеми единичными компонентами, е,, е„, е2, е, - векторы, /-е компоненты
которых равны <*ь, £,г и соответственно. Тогда моменты,
составляющие элементы матрицы В, можно выразить следующим образом М’ =(е„,е,), ; = 0,х,у,г,2, М*=(е,,е;), 1,]=х,у,г,2. Таким образом, матрица В - это матрица Грама для системы векторов е0, е1( ег, е2, е2. Как известно, определитель матрицы Грама отличен от нуля в том и только в том случае, когда векторы, из скалярных произведений которых составлена эта матрица, линейно независимы.
Выясним, когда векторы е0, е,, еу, е,, е2 линейно зависимы. Для этого рассмотрим линейную комбинацию е0, е2, еу, е2, е, и выясним, когда она равна нулевому вектору. Для этого рассмотрим некоторую компоненту этой комбинации:
(42) 0 = с„ +с,4, + с,£,+с£,+с1{£ + £ + £).
Предположим, что с2 ф 0. Тогда (42) можно записать в виде
(43) 0 = с/#,+^Т+СЬ +*Е-Т+*/|, +±-}с0-^+с1+С’
2 с2) 2с2; 2 с2) “ 4с,
Формула (43) задает в скоростном пространстве либо сферу, либо точку, либо пустое множество, Последние два варианта рассматривать не будем, поскольку будем считать, что скоростное