Составные явные схемы решения параболических задач

• Автор: Банушкина, Полина Викторовна
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 104 с.

Оглавление
Введение

1 Двухуровневые схемы интерполяционного типа

1.1 Одномерный пример. Сходимость в С

1.2 Исходное семейство двухуровневых схем

1.3 Вспомогательные полиномы и

некоторые неравенства

1.4 Устойчивость по начальным данным

1.5 Устойчивость по правой части

1.6 Схемы с чебышевским набором параметров

2 Схемы итерационного типа

2.1 Исходное семейство явно-неявных схем
2.2 Устойчивость по начальным данным
2.3 Устойчивость по правой части
2.4 Выбор параметров схемы
3 Многоуровневые схемы
3.1 Исходное семейство явных схем
3.2 Каноническая форма многоуровневых схем

3.3 Устойчивость по начальным данным
3.4 Устойчивость по правой части
3.5 Декомпозиция области
Заключение
Литература

Введение
Хорошо известны достоинства и недостатки явных схем численного решения нестационарных краевых задач математической физики. Главным недостатком следует считать чрезмерно жесткое условие устойчивости явных схем с постоянным по времени шагом, из-за которого они практически исключены из вычислительной практики. С другой стороны, при решении сложных задач реализация явных схем несравненно проще неявных, в которых решение приходится, как правило, находить более сложным путем - применяя итерации.
Рассматриваемые в общем комплексе три проблемы: методы решения жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений большого порядка, разностные или вариационно-разностные методы решения нестационарных задач математической физики и методы распараллеливания алгоритмов для многопроцессорных ЭВМ - побуждают вернуться еще раз к исследованию эффективности явных разностных схем, которые в описанной ситуации допускают очевидное естественное распараллеливание вычислений.
Собственно данная диссертация посвящена построению и исследованию нового класса схем, для которых мы используем название "соетав-ные"схемы. Хотя для этих схем целесообразнее использовать слово "мно-

Покажем, что операторы Б' и В" положительно полуопределены. Из условия (1.4.48) немедленно следует положительная полуопределенность оператора В'. Далее, поскольку Ац - положительно определенный оператор, для положительной полуопределенности В" достаточно положительной полуопределенности дополнения Шура
<522 (Е") = ——Л22 ——СА^А^АиС.
Перепишем 622{В") в следующем виде
322{В") = 1---“^“^(^22 — А^^А-уу А2)(А
При этом, как следует из неравенства (1.2.23), достаточно показать положительную полуопределенность оператора
§22 — 2_^22---^_^22С'2. (1.4.52)
Напомним, что А22 перестановочен с операторами £? и К, а, следовательно, и с С. Аналогично доказательству следствия 1.3.1, для доказательства положительной полуопределенности оператора §22 достаточно установить неотрицательность функции
ДА) = Г’М - ^ (фг'ОИА) - I)2,
где А 6 [0,Атах], а Атах = 11^42211(2)■ Использование равенств (1.3.42) при р = - и формул (1.3.36) и (1.3.41) после несложных преобразований приводит к равенству
тх 2(1 — 1(х))
х = тА. (1.4.53)

ф(Х) =
1 - 12{х) - ~ Кх))