Оценка погрешности экстремальных квадратурных формул на некоторых классах функций

• Автор: Романов, Марк Анатольевич
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Хабаровск
• Количество страниц: 48 с.

СОДЕРЖАНИЕ
Введение
ГЛАВА 1. Погрешности детерминированных квадратурных формул
1.1. Доказательство нижней оценки
1.2. Доказательство верхней оценки
1.2.1. Одномерный случай
1.2.2. Многомерный случай
ГЛАВА 2. Погрешности случайных квадратурных формул
2.1. Доказательство нижней оценки
2.2. Доказательство верхней оценки
Список литературы

Введение
Задача о приближенном интегрировании функций издавна является одной из основных задач теории вычислений. В простейшем случае вычисление определенного интеграла

J f(x)dx,
когда функция fix) задана аналитически и когда может быть найден неопределенный интеграл
J f(x) dx = F (х) + С,
производится по формуле
ь S = J f{x) dx = F(b) — F fa).

В тех случаях, когда неопределенный интеграл найден быть не может, приходится для вычисления определенного интеграла пользоваться приближенными формулами.
Пусть Z)cKs- некоторая область, C(D) - пространство непрерывных на D функций и / 6 C(D) - некоторая функция. Для вычисления интеграла пользуются приближенной формулой, называемой квадратурной:

/ f(x) da(x) Лkf(x{k)). (0.1)
D fc
Здесь do{x) - некоторая мера; обычно предполагают, что существует плотность меры da(x) — w(x) dx, где dx - мера Лебега. Точки ж) eD (А’
1,2,N) называются узлами, а числа А& - весами квадратурной формулы. Набор
(x(1

da(x)- (°-2)
к=і JD
Об этом свойстве квадратурной формулы говорят, что она точна на константах. Величина

Ä(ß; f) = / f(x) da(x) ~ 53 (0.3)

называется погрешностью квадратурной формулы.
Квадратурные формулы для вычисления интеграла от непрерывной функции стали применяться и содержательно исследоваться задолго до того, как собственно появилось само понятие интеграла. К примеру, еще Архимед, рассматривая задачу вычисления площади параболического сегмента, применил для этой цели формулу трапеций и фактически доказал сходимость соответствующего квадратурного процесса. В дальнейшем в создание и развитие теории приближенного интегрирования свой заметный вклад внесли многие видные математики.

Пусть Д, = Т2 и е Д. для целых г- 0 (' = 1
(1.26)
где Дд — сетка (1.11), определенная в предыдущем пункте. Как и ранее, натуральное число I выбирается из условия (1.16). С помощью описанной выше конструкции построим сетку Д, — Д(£) с тригонометрической суммой
5)(п;0 = )(п1

ь = Д(1), , ) Воспользовавшись оценкой (1.25), получим
У ...у(1)

Ми и и

ц11 п]'"‘
(1)...С(5) I «

тач... пкач
щад