Оценка производных от решения стационарного диффузионного уравнения методом Монте-Карло

• Автор: Бурмистров, Александр Васильевич
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 72 с.

Содержание
Введение
1. Оценка по времени для вычисления линейных функционалов от концентрации траекторий многомерных диффузионных процессов

^ 1.1. Оценка по времени

1.2. Связь с вероятностным представлением решений краевых задач

1.3. Реализация оценки по времени в случае однородной диффузии

1.4. Способы повышения порядка детерминированной погрешности

ф 2. Оценка градиента решения стационарного диффузионного уравнения методом Монте-Карло на основе его вероятностного представления

2.1. Построение вспомогательного веса

2.2. Алгоритмы оценки производной

3. Решение стационарного диффузионного уравнения методом Монте-Карло с вычислением производных с помощью шаровых функций Грина
♦ 3.1. Оценки на основе ’’блуждания по сферам и в шарах”
3.2. Асимптотическая несмещенность и равномерная ограниченность дисперсии оценок
3.3. Комбинированная оценка для случая невырождающегося конвективного слагаемого
3.4. Трехмерный случай

4. Численные результаты
4.1. Оценка по времени
4.2. Численное исследование порядка детерминированной погрешности
4.3. Вычисление производных
4.3.1. Блуждания по сферам и в шарах
4.3.2. Метод Эйлера
4.3.3. Один контрпример
Заключение
Литература

Список таблиц
3.1. Корни 7Г£ и условия сходимости ряда Неймана для разных значений к
3.2. Условия конечности дисперсии для разных значений к; Хк
~ точка минимума
4.1. Оценки для с — 1, т = 10_3,У = 2 •
4.2. Оценки для с = 7г2 « 9,8696, т = 10_3, У = 2 ■ 105
4.3. Сравнение методов оценки величины
и*(г0) = = ^;У =
4.4. Оценки щ методом Эйлера и с помощью блуждания по сферам и в шарах
4.5. Оценки методом Эйлера и с помощью блуждания по
ф сферам и в шарах
4.6. Оценки £ = ----- с помощью блуждания по сферам и в

шарах

4.7. Оценки £ = с помощью блуждания по сферам и в

шарах

4.8. Весовой метод Эйлера для оценки —— (г)

Г{ — (s — г — vt) — üjl — Го — Col.
Тогда
ko - coll - l2col + kola - 2(r0,u)J. Дифференцирование этого соотношения по I при I — 0 дает равенство (к - Г - VT - u>ll)'i=0 = —2(s - г -VT, со)а. (2.9)
/ |г,р
Далее, дифференцируя функцию ехр — в точке I = Ос учетом
(2.9), получаем

ч ^ (s-r-VT,Uj)a ( kola
рЛг’ т) = №т)Щг 'ХР
Следовательно
и (г) - «W'(r) = - J[u(s) - u^(s)](s — г — vT,u))ape(r, s; r)ds + О(т). T Rk
Сделав замену переменных
s = г + ру/т + vt, ds = ds... dsk — (r)*/2dpi ... dpк = (j)kl2dp, получаем
r—1/2 Tq
и'{г) - u^'(r) = 1 ^r + p^+VT) x
X (p,w)CTexp II dp + 0(t).
Согласно определению вектора р и величины (р,ш)ст, после замены р —> —р величина (р, со)а меняет знак, а значение интеграла остается прежним. Следовательно т-1/2т
и1 (г) - п(т),(г) = 2(^2п)к121 / + + ит^ ~ ~ + ит^ х

х (р,сц)0.ехр (~‘кг) dp + 0(r). Окончательно, используя (2.8), получаем