Варианты метода коллокаций и наименьших квадратов и их приложения

• Автор: Исаев, Вадим Исмаилович
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 102 с. : ил.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
Глава 1. Варианты метода КНК повышенного порядка точности для уравнения Пуассона
1.1. Постановка задачи
1.2. Описание метода
1.3. Ортогональный метод решения переопределенной системы линейных алгебраических уравнений
1.4. Численные эксперименты
1.4.1. Сходимость приближенного решения
1.4.2. Влияние погрешностей округления
1.5. Ускорение сходимости итераций
1.5.1. Описание метода
1.5.2. Связь с методом Эйткена (52-процессом)
1.5.3. Численные эксперименты
Глава 2. Варианты метода КНК для численного решения уравнений Навье-Стокса
2.1. Постановка задачи
2.2. Описание метода
2.3. Ускорение сходимости итераций
2.4. Результаты расчетов
2.4.1. Сходимость приближенного решения
2.4.2. Задача о течении в каверне с движущейся крышкой

Глава 3. Консервативный вариант метода КНК для стационарного уравнения теплопроводности
3.1. Постановка задачи
3.2. Описание метода
3.3. Численные эксперименты
Глава 4. Численное моделирование лазерной сварки тонких металлических пластин
4.1. Трехмерная математическая модель процесса лазерной сварки
4.1.1. Определяющие уравнения
4.1.2. Краевые условия для уравнения теплопроводности
4.1.3. Краевые условия для уравнений Навье-Стокса
4.2. Квазитрехмерная модель
4.2.1. Осреднение уравнений Навье-Стокса
4.2.2. Осреднение уравнения теплопроводности
4.2.3. Осреднение краевых условий
4.3. Численный метод
4.4. Результаты расчетов
Заключение
Литература

ВВЕДЕНИЕ
Современное развитие науки стимулирует все более широкое применение численного моделировании в различных ее областях. С его помощью делается прогноз погоды, конструируются летательные аппараты, турбины, химические реакторы, решаются многие другие задачи науки и техники. Стремление добиться наиболее полного и точного описания рассматриваемых явлений приводит к необходимости использования сложных математических моделей, что в свою очередь стимулирует развитие численных методов и предъявляет повышенные требования к их свойствам: точности, устойчивости, адекватности в описании законов сохранения и т. д.
Данная работа посвящена развитию метода коллокадий и наименьших квадратов (КНК). Здесь предложены способы построения вариантов метода КНК повышенного порядка точности для численного решения краевых задач для двумерных стационарных уравнений Навье-Стокса и уравнения Пуассона, а также консервативный вариант метода для стационарного уравнения теплопроводности.
Суть метода коллокадий заключается в следующем. Приближенное решение ищется в конечномерном линейном пространстве функций. Неизвестные коэффициенты его разложения по базису пространства определяются из уравнений коллокадий и краевых условий. Уравнения коллокаций — это требования того, чтобы приближенное решение удовлетворяло уравнениям исходной дифференциальной задачи в конечном множестве точек области (точках коллокаций), в которой ставится эта задача. Краевые условия получаются из требований выполнения соответствующих условий рассматриваемой задачи

250 500 750 1000 n
Рис. 1.3. Зависимость величины ||гп||оо/||я?1||оо от номера итерации п в случаях, когда метод ускорения используется (1) и не используется (2).
при к — 3. Пусть Ыцег — это число итераций, необходимых для построения приближенного решения, то есть достижения выполнения условия остановки итераций
Видно, что применение метода ускорения позволило в этом численном эксперименте в 3 раза сократить величину Niter (здесь е = 10-15).
Для исследования влияния числа невязок, используемых для поправки (1.18), на эффективность ускорения проведены расчеты при различных значениях параметра к. На рис. 1.4 приведены графики для к = 3, к = 5, к = 20. Видно, что при к — 20 число итераций lVjter, необходимых для построения решения, в 2 раза меньше их количества при к = 3. Таким образом, поскольку в более ранних вариантах метода ускорения сходимости [60,61,109,131] при вычислении поправки (1.18) использовалось не более двух невязок (к — 3), предложенный здесь вариант позволяет добиться большего ускорения по сравнению с ними. На рис. 1.5 приведен график зависимости величины Лфег от параметра к. Видно, что с ростом А: от 2 до 20 ее значение существенно уменьшается. При дальнейшем увеличении к число итераций Nuer остается примерно на одном и том же уровне.
(1.32)