Многопараметрические спектральные задачи для полиномиальных и рациональных матриц. Методы решения многопараметрических задач алгебры

• Автор: Хазанов, Владимир Борисович
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 480 с.

Работа посвящена исследованию спектральных характеристик многопараметрических полиномиальных и рациональных матриц и разработке методов решения многопараметрических задач алгебры, в том числе, спектральных задач. Основным объектом исследования являются сингулярные матрицы (т.е. прямоугольные матрицы или квадратные матрицы, определитель которых тождественно равен нулю). Рассматриваются также задачи алгебры, приводящие к многопараметрическим задачам, и задачи с нелинейностью общего вида.
Работа состоит из введения, двух частей, содержащих восемь глав, которые имеют сквозную нумерацию, заключения, приложения и списка литературы. В конце работы приводится подробное оглавление.
Введение состоит из четырех параграфов. В параграфе В.1 приводится краткое содержание работы. Параграф В.2 содержит основные используемые обозначения. В параграфе В.З указываются задачи, которые приводят к многопараметрическим спектральным задачам и другим многоиараметрическим задачам алгебры, и приводятся ссылки на работы, посвященные методам решения указанных задач. В параграфе В.4 указываются разновидности постановок многопараметрических спектральных задач.
В.1. Содержание работы
Первая часть посвящена исследованию свойств многопараметрических матриц.
В Главе 1 приводятся основные определения, понятия и свойства многопараметрических алгебраических объектов. В параграфе 1.1 приводятся основные понятия, относящиеся к полиномам и рациональным функциям от многих переменных, системам нелинейных алгебраических и рациональных уравнений. В параграфе 1.2 рассматриваются векторные пространства над полем рациональных функций и модули над кольцом полиномов и их базисы, а также пространства со скалярным произведением. В параграфе 1.3 приводятся основные понятия, относящиеся к многопараметрическим полиномиальным и рациональным матрицам. В параграфе 1.4 рассматриваются результангные матрицы, отвечающих однопараметрическим полиномиальным матрицам, которые обобщаются на случай многопараметрических полиномиальных матриц. В параграфе
1.5 приводятся определения, относящиеся к понятиям, связанным с суперпозицией линейных пространств: прямым суммам линейных пространств, мультилинейным функциям и тензорным произведениям линейных пространств. Параграф 1.6 посвящен сведению комплексных формулировок к вещественным.

В Главе 2 рассматривается "несвязанная" многопараметрическая спектральная задача для полиномиальных матриц. В параграфе 2.1 приводятся основные понятия, относящиеся к спектральным характеристикам многопараметрической полиномиальной матрицы: нуль-пространства, полиномиальные решения, конечный спектр, регулярная и сингулярная части спектра, аналитическая и геометрическая кратности точек спектра, собственные векторы, жордановы полурешетки векторов, порождающие собственные и корневые векторы. Устанавливаются некоторые свойства этих спектральных характеристик. В параграфе 2.2 даются определения "бесконечного" и полного спектров многопараметрической полиномиальной матрицы и соответствующих им характеристик (кратности точек спектра, жордановы полурешетки векторов, порождающие векторы). В параграфе 2.3 рассматриваются особенности многопараметрической задачи, когда только один из скалярных параметров является спектральным. В параграфе 2.4 исследуются свойства спектральных характеристик многопараметрических полиномиальных матриц (в том числе, свойства факторизаций, свойства сингулярного и регулярного спектров, свойства базисов нуль-пространств и порождающих векторов, существование свободных полиномиальных базисов подпространств, понижающие подпространства, блочные спектральные характеристики). В параграфе 2.5 рассматриваются свойства результант-ных матриц, относящиеся к задачам определения ранга полиномиальной матрицы и построения базисов ее образа (линейной оболочки столбцов) и нуль пространства. В параграфе 2.6 рассматриваются линейные многопараметрические спектральные задачи: пучок полиномиальных матриц (линейность по одному параметру), матрица линейная по каждому из параметров и пучок постоянных матриц; сопровождающие пучки полиномиальных матриц, свойства их спектральных характеристик. В параграфе 2.7 рассматриваются "определенные" несвязанные задачи с ограничениями на векторные характеристики, а также сведению комплексной задачи к вещественной.
В Главе 3 рассматривается характеристики и свойства многопараметрических рациональных матриц. В параграфе 3.1 приводятся основные "спектральные" характеристики многопараметрической рациональной матрицы: нуль-пространства, полиномиальные решения, конечные и "бесконечные" особые точки (полюса, нули, точки неопределенности). Параграф 3.2 посвящен полиномиальной "реализации" рациональной матрицы, связанной с ней системной матрицей и их свойствам. В параграфе 3.3 рассматриваются различные виды факторизации рациональной матрицы (базовые, несократимые, минимальные) и исследуются их свойства.

В Главе 4 рассматриваются "связанные" многопараметрические спектральные задачи для полиномиальных матриц. В параграфе 4.1 рассматриваются "слабо связанные" многопараметрические спектральные задачи для совокупностей полиномиальных матриц, связанных общими спектральными параметрами, и спектральные характеристики таких задач. Наибольшее внимание уделяется задаче для пучков постоянных матриц, которая сводится к совокупности обобщенных задач на собственные значения однопараметрических пучков матриц, действующих в тензорном произведении исходных пространств и имеющих общие векторные характеристики. В параграфе 4.2 рассматриваются "строго связанные" и "вполне связанные" многопараметрические спектральные задачи для совокупностей полиномиальных матриц, связанных соответственно общими векторными характеристиками или всеми спектральными характеристиками: векторными и параметрами. Приводятся способы сведения этих задач к "слабо связанным".
Вторая часть посвящена методам решения многопараметрических задач алгебры.
В Главе 5 рассматриваются методы построения факторизаций полиномиальных матриц (в том числе, ранговых) и рациональных матриц (в том числе, несократимых), а также методы построения базисов образа и ядра полиномиальных матриц, основанные на использовании результантного подхода. В параграфе 5.1 приводятся виды ранговых факторизаций постоянных матриц, известные методы их построения и их свойства. В параграфе 5.2 приводятся виды полиномиальных ранговых факторизаций однопараметрических полиномиальных матриц, известные методы их построения и их свойства. В параграфе 5.3 для многопараметрической полиномиальной матрицы рассматриваются обобщения ранговых факторизаций однопараметрической полиномиальной матрицы, в основе которых лежит рекурсивный метод А\’-с] разложения ^(-параметрической полиномиальной матрицы. Исследуются его свойства и рассматриваются некоторые его модификации. Он включает использование методов относительной факторизации (ОФ- В Главе 6 приводятся прямые методы решения некоторых параметрических задач алгебры, в основе большинства которых лежат методы ранговых факторизаций полиномиальных матриц и результантный подход к построению базисов образа и нуль-пространства полиномиальной матрицы. В параграфах 6.1 и 6.2 приводятся методы ре-

1.2.2. Базис пространства, полиномиальный базис.
A. Базис рационального векторного пространства С" (X) определяется как совокупность линейно независимых рациональных векторов таких, что любой рациональный вектор г(Х)єС" (X) представим в виде линейной комбинации этих векторов:
'(Х) = Z>,(X)e,(X).
Здесь е,(Х) е С" (X), - базисные векторы, число которых, очевидно, совпадает с
размерностью пространства С"(X), а а,(Х) є С(Х), /-1,- координаты вектора г(/.) относительно выбранного базиса. Аналогичная ситуация имеет место и для любого подпространства М с С" (X), когда dim М = т < п. Если рациональные векторы е,(Х) є С" (X), /=1 от, образуют базис подпространства М, то любой рациональный вектор /■(Х)є М представим в виде:
КХ) = 1>,(Х)е,(Х), (1.2.16)
где а,(Х) є С(Х), г-1 от. Особый интерес представляют полиномиальные базисы пространств и подпространств, т.е. базисы, образованные из полиномиальных векторов. Такие базисы всегда существуют. Действительно, от любого базиса, образованного рациональными векторами, можно перейти к полиномиальному базису. Для этого достаточно для каждого базисного вектора найти НОК знаменателей его компонент и умножить вектор на этот НОК (см. п. 1.2.1).
Определение 1.2.1. Полиномиальный базис будем называть минимальным, если сумма степеней полиномиальных векторов образующих его является минимальным. Упорядоченные по невозрастанию степени базисных векторов минимального базиса будем называть минииндексами.
Очевидно, что при разложении полиномиального вектора лг(Х) є М с С" (X) по некоторому полиномиальному базису е,(Х), /=1 от, подпространства М:
*(Х)= 1>,(Х)е,(Х), (1.2.17)
координаты его, в общем случае, будут являться рациональными функциями: ц,(Х) є С(Х), /=1 от. Специальные виды полиномиальных базисов подпространства, гарантирующие полиномиальные координаты для любого принадлежащего этому подпространству полиномиального вектора, рассматриваются ниже в п. 1.3.5.
B. Легко убедиться в том, что при переходе от аффинного пространства С4 к проективному пространству СП1' базисные векторы е,(Х) є С"(Х), /=1 от, (т<п) иодпро-