Кубатурные формулы для приближенного интегрирования по поверхности тора

• Автор: Федотова, Ирина Михайловна
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Красноярск
• Количество страниц: 88 с. : ил.

Оглавление
Введение
0.1. Постановка задач численного интегрирования и методы построения формул высокой алгебраической точности
0.2. О содержании диссертации
0.3. Основные обозначения и определения
1. Минимальные кубатурные формулы для тора точности 2 и
1.1. Предварительные сведения
1.1.1. Определение и свойства воспроизводящего ядра
1.1.2. Связь между минимальными формулами и воспроизводящим ядром
1.1.3. Минимальное число узлов для тора
1.2. Построение минимальных кубатурных формул для поверхности тора второй степени точности
1.3. Описание всех минимальных кубатурных формул для тора 3 степени точности
1.4. Анализ результатов и выводы
2. Инвариантные кубатурные формулы для тора
2.1. Предварительные сведения об инвариантных кубатурных формулах
2.1.1. Краткие сведения об инвариантных формулах
2.1.2. Группы преобразования тора в себя и их инварианты
2.2. Построение инвариантных кубатурных формул для тора
2.2.1. Построение кубатурных формул для тора, инвариантных относительно преобразований группы О = Сп х £>с
2.2.2. Построение кубатурных формул для тора, инвариантных относительно преобразований группы <7 = С1 х £>
2.2.3. Построение кубатурных формул для тора, инвариантных относительно преобразований группы (7 = С?1 х
2.3. Анализ результатов и выводы
Список литературы
ВВЕДЕНИЕ
0.1. Постановка задач численного интегрирования и методы построения формул высокой алгебраической точности
Широкие возможности применения вычислительной техники в практике вычислений способствуют интенсивному развитию теории приближенного интегрирования. Интегрирование является одной из самых распространенных математических операций. В самых различных областях часто приходится вычислять определенные интегралы, для которых невозможно получить точное значение, поэтому задача о приближенном вычислении определенного интеграла является одной из актуальных задач вычислительной математики. Формулы приближенного интегрирования п-кратного интеграла имеют вид приближенных равенств, в левой части которых стоит вычисляемый интеграл, а в правой - обобщение суммы Римана: линейная комбинация с постоянными коэффициентами значений подынтегральной функции в точках области интегрирования, называемых узлами. При п = 1 такие формулы приближенного интегрирования называют квадратурными, а при п > 2 - кубатурными.
Квадратурные формулы применяются со времен Ньютона. В настоящее время теория квадратурных формул разработана достаточно полно. Квадратурные формулы Ньютона - Котеса, Гаусса, Чебышева и другие широко используются в различных областях науки и техники.
Разработка теории кубатурных формул началась сравнительно недавно. В общей постановке задачу можно сформулировать следующим обра-

Рис. 6. График функции Fз(^з,^4) = 0.
Из рисунков 4-6 видно, что в качестве начального приближения можно взять следующие значения £2, £3, £
£“ = 2; £§ = 1.8; $ = 0.9.
Решая систему (1.7) методом Ньютона, получим
£2 = 2.209788; £3 = 1.50639; £4 = 0.8886267.
Узлы и коэффициенты искомой кубатурной формулы имеют вид

Узлы Коэффициенты
(2.25,0,0) (-1,-2.10238,0.280723) (-Ц, 1.343898,0.966573) (-Ц, 0.5677265, -0.9315032) 49 211 0.230064 0.22986 0.307