Оптимальные регуляризирующие операторы К-го порядка

• Автор: Дихтяр, Василий Иванович
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 123 c. : ил

Глава I. Рк-операторы и влияние процедуры

регуляризации для интегральных уравнений I рода типа свертки

§ I. О некоторых обратных задачах математической физики

§ 2. Регуляризирующие операторы для уравнений типа свертки

§ 3. Асимптотические оценки уклонения регуляризованного решения от точного

Глава II. Оптимальные Рк-алгоритмы поиска

приближенных решений

§ I. (С,і )-оптимальный выбор параметра

регуляризации

§ 2. Оптимальные регуляризованные решения и фильтры, определяемые интегральными операторами свертки

§ 3. Определение вероятностных характеристик сигнала и шума для оптимальных

Рк-решений
§ 4. Последовательное оценивание решений и
статистическая регуляризация

Глава III. Рк-операторы в обратной задаче
гравиметрии для нескольких контактов
§ I. Оценка числа контактных поверхностей
§ 2. Определение параметров геометрически
подобных контактных поверхностей
Заключение
Литература
Приложение

Диссертация посвящена разработке численных методов решения обратных задач математической физики,сводящихся к линейным интегральным уравнениям I рода, и созданию эффективных алгоритмов решения таких уравнений.
Актуальность исследования обусловлена тем,что рассматриваемые задачи возникают при моделировании важных для научно-технического прогресса проблем восстановления сигналов, искаженных приборами или окружающей средой, идентификации линейных систем,интерпретации геофизических наблюдений и зд.
Функциональная связь между характеристиками изучаемого объекта ^ и результатами наблюдений ^ задается оператором А таким образом, что математическая модель об
ратной задачи описывается уравнением I рода
^ = и. , «>
где решение £ и правая часть Ы принадлежат заданным
метрическим пространствам:
^ е £ У; М.* 1/£ V; /I • У —► V.
Во многих случаях задача решения уравнения (I) является некорректно поставленной. Основы общей теории и методов решения некорректных задач были заложены в трудах А.Н.Тихонова [?4- 18 ], развиты в работах М.М.Лаврентьева, В.К.Иванова
и многих других советских ученых. Подробная библиография приводится в монографиях [**/*9,(>о, и, й],

Чтобы доказать (19), отметим очевидные неравенства -(4-1) 4 CJL г - к. и CrJ>r* i , r=ot...,^ic j
p* i i )
которые непосредственно следуют из (14) и (15).Таким обра -зом сразу получаем правую часть неравенства (19).
Левая часть следует из того, что
4 ,, + £) $ г^р, CrJ>r
а добавление суммы от "к+I" до "2к" приводит лишь к усилению неравенства.
Следствие 2. ( Приближение к ot°K )
Значение параметра регуляризации cLc , близкое к (С,£ )-оптимальному, при J ^ =0,1 р(к+1) и шуме
со спектральной плотностью вида (II) может быть найдено для ядер I типа по формуле
И(р-Ць')
2ц &h. - S.Ou f
~о *1 h Ы
к ^ fcj lzlJ ’
где коэффициенты Вк = £>к(р,и,(() определяются в соответствии
с (1.3.7) и для верхней границы ^ введено обозначение 1^1,
Действительно, характер асимптотического поведения функ-ций ^К(^С) и б"к («О , выраженный формулами (1.3.6) и (16), позволяет находить значение параметра регуляризации , близкое к (С, £ )-оптимальному, из условия
д*(«о = &*(<*') , ‘21>
в котором используется верхняя грань модуля производной