О новых методах решения частичной проблемы собственных значений

• Автор: Борзых, Алексей Николаевич
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 109 с. : ил.

Содержание

Используемые обозначения

Г лава 1. Введение

§1. Классификация задач на собственные числа

§2. О предмете данной диссертации

§3. Актуальность задачи

§4. Обор методов, вычисляющих наибольшее собственное число

симметричной матрицы

§5. Обзор методов, вычисляющих наибольшее сингулярное число

несимметричной матрицы

Глава 2. О новых методах решения частичной проблемы собственных

значений
§ 1. Идея новых алгоритмов
§2. О новом методе вычисления наибольшего собственного значения
симметричной матрицы
§3. О новом методе вычисления наибольшего сингулярного значения
несимметричной матрицы
§4. Приближенное решение тригонометрического уравнения
§5. Оценка сложности одного шага новых методов
§6. Критерии остановки, обеспечивающие заданную точность
§7. Прием, позволяющий увеличить сумму элементов матрицы с помощью
замен знаков элементов матриц
§8. Использование матриц отражения вместо матриц вращения
§9. Техника верхней релаксации
Глава 3. Результаты численных экспериментов
§ 1. Проверка сходимости предложенных алгоритмов
§2. Вычисление наибольшего собственного числа симметричной матрицы.. 70 §3. Вычисление наибольшего сингулярного числа несимметричной матрицы
Заключение
Публикации по теме диссертации
Список литературы

Используемые обозначения
А, В, С - квадратные матрицы;
а, Ь, с — векторы: а = V ,ь = ... і> у ,с = V
Л)
а, р, у - скаляры из 51;
с1іа§(а|

1 - единичная матрица;
вектор из единиц; е, = (0

ИН И2=А«() - спектральная норма матрицы;

||А\{ = тах|аіу| - 1-норма матрицы;
7 /=і

= тах У, [а„ | - со-норма матрицы;
1 /=і
ИІІї
ч 1/2
Л /7
ІІКІ
V. 'Л
- евклидова норма матрицы;
М(А) = п тахій.. - Мнорма матрицы;

сопсі() = 111 Ц/Г'Ц - число обусловленности невырожденной матрицы А; п - как правило, обозначает порядок квадратной матрицы;
Ат - транспонированная матрица;
А* - сопряженная матрица;
А"1 - обратная матрица;
а у - элемент і-ой строки /-го столбца матрицы А;
/ОО- КА) = КРае,е) = -п >£і£) < „. |р0| < п . 8\А\ (ОД2
Є,Є)
КА')-КА)
Оценим

КА')-КА) _ КА')~КА) .п-Щ-ІС.є)2
А(А)2 є2 є2 1 11 11’
Получаем:
а(АГг8ЛМ'(/("')'Л"))'ІЙ'(А| ')) = С’ '(Л
Доказано.
Теорема 1. Алгоритм имеет линейную скорость сходимости.
В утверждениях 6 и 8 было показано, что, начиная с некоторого шага, имеют место неравенства:
В-А>С2-с1(А)2,
а(А)2 >С3 - (Я, -р(А)).
Получаем:
р(В)-р(А) = -(В-А)>--С2-сі(А)2>--С2-С,-(Л]-р(А)) = п п п
= С,-{-р{А)),
где С4 = - С2 С3
Я, - р( А) - погрешность на текущем шаге.
Я, - р{В) - погрешность на следующем шаге.
Л ~Р(В) = (Л,-р(А)]-(р(В)-р(А)) 1 р(В)-р(А) с Я, - р(Л) Я, - р(А) Я, - р(Л)