Исследование и приближенные методы решения негладких полукоэрцитивных вариационных неравенств

• Автор: Пачина, Анна Викторовна
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Хабаровск
• Количество страниц: 107 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
ГЛАВА 1. Вариационная задача Мосолова и Мясни-кова с трением на границе по закону Кулона
§1. Исследование экстремальной задачи Мосолова и Мясникова с трением на границе по закону Кулона

1.1 Постановка вариационной и вариационной полусглаженной

задач

1.2 Краевая постановка полусглаженной задачи

1.3 О существовании решения полусглаженной задачи

1.4 О единственности решения полусглаженной задачи

1.5 Оценка близости решений исходной и полусглаженной

задач................. .'. . Г-.'

§2. Построение устойчивого метода решения
2.1 О сильной сходимости минимизирующей
последовательности
2.2 Метод конечных элементов
2.3 Метод итеративной ргох-регуляризации
2.4 Оценка погрешности конечноэлементной аппроксимации .. 45 §3. Алгоритмы оптимизации
3.1 Модифицированный метод Ньютона
3.2 Модифицированный метод Ньютона с регулировкой шага
3.3 Метод поточечной релаксации

ГЛАВА 2. Полукоэрцитивная задача Синьорини
с неоднородным краевым условием
§1. Исследование полукоэрцитивной задачи Синьорини с неоднородным краевым условием
1.1 Переход к задаче с однородным условием
1.2 Краевая постановка задачи
1.3 Существование и единственность решения конечномерной задачи
§2. Построение устойчивого метода решения
2.1 Метод итеративной ргох-регуляризации
2.2 Построение минимизирующей последовательности
2.3 Оценка погрешности конечноэлементной аппроксимации..
2.4 Линейная скорость сходимости метода итеративной регу-
ляризации
Приложение
§1. Численное исследование задачи Мосолова и Мясникова с трением на границе по закону Кулона
§2. Численное исследование полукоэрцитивной задачи Синьорини с
неоднородным краевым условием
Литература

Введение
Актуальность темы. Многие линейные задачи математической физики допускают естественную вариационную постановку. При этом исходная краевая задача сводится к отысканию минимума некоторого выпуклого функционала на линейном множестве. Переход к вариационной постановке позволяет ослабить ограничения на гладкость искомого решения, при этом естественным образом вводится понятие обобщенного (слабого) решения. В последние десятилетия интенсивно развиваются и вариационные подходы для некоторых нелинейных краевых задач, таких, как задача об упруго-пластическом кручении цилиндрического стержня [1, 22, 59, 60], контактная задача теории упругости (как с трением, так и без него) [10, 16, 34, 48, 52, 54, 61, 63, 64], задача Бингама [53, 66] и т.д.. Соответствующие вариационные задачи состоят в минимизации выпуклого функционала на выпуклом замкнутом множестве и, тем самым, являются задачами на условный экстремум. Они могут быть представлены и в эквивалентной форме вариационных неравенств. Исследования по вариационным неравенствам первоначально были проведены в школе Ж.Л. Лионса [12, 14, 22, 23, 52], а в настоящее время широко и активно разрабатываются специалистами по дифференциальным уравнениям, механике сплошной среды, математической экономике. Отметим в этой связи работы отечественных исследователей: П.П. Мосолова [31], П.П. Мосолова и В.П. Мясникова [30], В.Л. Бердичевского [4], H.H. Уральцевой [46], H.H. Уральцевой и Т.Н. Рожковской [47], Б.Д. Аннина и Г.П. Черепанова [1], А.М. Хлуднева [48, 57, 58], A.B. Лапина [20] и др.
Для анализа и решения вариационных задач широко используется аппа-
С другой стороны, используя неравенство /аг + Ъ2 — а < Ъ, справедливого для всех а > 0 и Ъ > 0, получим
^е(л ) Je(uo) ^ ) /(«о) ^
< Л(«о) - -/(ио) = / S’^n/IVuoP + s2 - |Vito|) = /si(v'lV%P + e2-v'|Vüol2)rffi< /фДО.
Тем самым
J |V(m* — i §2. Построение устойчивого метода решения
2.1 О сильной сходимости минимизирующей последовательности
Будем считать, что решение и* задачи (1.1.2) принадлежит пространству Н2(12) и, тем самым, единственно.
Определение. Последовательность {«"}, принадлежащая Н1(О), называется минимизирующей для задачи (1.1.2), если
lim JAu") = JA и").
п—К» у '
Теорема 1.3. Пусть выполнено условие (1.3.1). Любая минимизирующая для задачи (1.1.2) последовательность {и") сходится в норме пространства H1(Q)k решению и* задачи (1.1.2), т.е.