Полюсный метод Ньютона

• Автор: Петров, Михаил Юрьевич
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Ижевск
• Количество страниц: 103 с. : ил.

Глава 1. Одномерный полюсный метод Ньютона
1.1. Построение метода и исследование его сходимости
1.2. О параметрах метода
1.3. Численные примеры
1.4. Выводы
Глава 2. Полюсный метод Ньютона решения систем нелинейных
уравнений
2.1. Перенос метода на системы из двух уравнений (векторный подход)
2.2. Обобщение метода на случай систем произвольной размерности
2.3. Сходимость полюсного метода Ньютона в п -мерных пространствах
2.4. Численные примеры
2.5. Выводы
Глава 3. Полюсный метод Ньютона в банаховых пространствах
3.1. Формальное построение полюсного метода Ньютона для нелинейных операторных уравнений в банаховых пространствах и его представления в
3.2. Сходимость обобщенного полюсного метода Ньютона
3.3. Выводы
Глава 4. О применении полюсной параметризации к некоторым известным итерационным процессам
4.1. Полюсные методы секущих
4.2. Полюсный метод Ньютона с векторным параметром
4.3. Аппроксимационный аналог полюсного метода Ньютона с векторным параметром
4.4. Выводы
Глава 5. Примеры применения полюсных методов к решению
прикладных задач
5.1. Численные эксперименты с интегральными уравнениями Гаммерштейна
5.2. Применение полюсного метода к решению уравнения движения доменной границы при скачке Баркгаузена
5.3. Выводы
Заключение
Литература

При решении многих прикладных задач на каком-то этапе возникает необходимость в нахождении корней нелинейных скалярных уравнений вида
Дх) = 0 (0.1)
или систем нелинейных алгебраических или трансцендентных уравнений, представляемых уравнением
^(х) = 0, (0.2)
где Р: Ыл -> 11п — векторная функция векторного аргумента. Изначально решаемые задачи при математической постановке часто сами формулируются в виде задачи отыскания решений нелинейного операторного уравнения
^(*) = 0, (0.3)
где в общем случае F — нелинейный оператор, действующий из некоторого множества О банахова пространства X в нормированное пространство У.
Очевидно, что уравнения вида (0.1) являются частным случаем систем (0.2) при
п = 1, а системы (0.2), в свою очередь, можно рассматривать как уравнения (0.3) при X - У = Кп.
Главное место среди известных методов приближенного решения уравнений (0.1)-(0.3) принадлежит итерационным методам. Без описания методов решения уравнений (0.1), (0.2) не обходится никакая учебная и справочная литература по современным численным методам [1, 2, 5, 11-13, 18, 20, 24, 28-31, 38, 47, 56, 66], а методы решения уравнений (0.3) содержатся во многих учебниках по функциональному анализу [40, 58, 67, 68 и др.]. Вопросам теории и применения итерационных методов посвящено множество монографий (см., например, [25, 35, 39, 49, 50, 64]), огромное количество научных статей.
Из обширного списка известных на сегодняшний день итерационных методов решения уравнений (0.1) выделим метод касательных, предложенный Ньютоном еще в 1669 году и позже, в 1690 году, Рафсоном. Названный в честь знаменитого ученого-первооткрывателя метод Ньютона (Ньютона-Рафсона) от-

Таблица 2
Точность, є Методы
метод Ньютона полюсный метод Ньютона с d:=d(,:)=F(x(*)) полюсный метод Ньютона с d:=d(‘) = -F(x<‘:))
К)-4 неприменим . £ = 15, ||х' - х(4) || = 6.7896 • 10'7, |^(х(4)| = 2.3316-Ю'7 £ = 9, ||х,-х(*)|| = 2.1311-10-5, |^(х<4>| = 1.5123-10'5
кг8 неприменим £ = 16, ||х'-х(і)|| = 9.2095-К)-'3, |/г(х<і) | = 3.2989 • 10'13 £ = 10, ||х’-х<4) 1 = 1.2002-10'9, |^(х<4) | = 2.3403-10'10
кг12 неприменим £ = 16, ||х* - хт 1 = 9.2095-Ю’13, ||^(х<Л)| = 3.2989-10"13 £ = 11, ||х* -х<4)| = 9.0531-10'18, |^(х<*)| = 2.2226-10'18
Пример 2.2. Два из бесконечного множества решений вида х^ = {тл 1)г, т е 20 системы [59]
10.5*2 -0,5 = 0,
[бІП х1 - *2 + БІГІ (х2 ~ 1) +
с матрицей Якоби
0 *2 СОБ X, — 1 + СОз(*2 - 1)
приближенно вычислялись полюсными методами Ньютона (2.25), (2.27) с матрицей С

из начального приближения х(0) = (я7 2; 0)г, неприемлемого для основного метода Ньютона, т.к. матрица Якоби в данной точке необратима. Конечные результаты применения указанных методов (см. табл. 2.4) вновь позволяют сделать вывод о квадратичной сходимости полюсных модификаций, одна из которых приводит к решению х^, а другая к решению х*7 заданной системы.