Оптимизационные методы решения вариационных неравенств

• Автор: Кушнирук, Надежда Николаевна
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Благовещенск
• Количество страниц: 109 с. : ил.

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА 1. Задача о движении жидкости в трубе с трением на границе. Существование и единственность решения.
Метод конечных элементов
1.1. Постановка задачи
1.2. Условие разрешимости
1.3. Вариационное неравенство и краевая задача
1.4. Аппроксимация задачи по методу конечных элементов
1.5. Метод итеративной проксимальной регуляризации
ГЛАВА 2. Методы двойственности
2.1. Классическая двойственность
2.2. Модифицированный функционал Лагранжа.
Характеристические свойства
2.3. Метод Удзавы нахождения седловой точки
2.4. Итеративная проксимальная регуляризация модифицированного функционала
2.5. Аппроксимация по методу конечных элементов
и реализация алгоритмов
ГЛАВА 3. Методы двойственности с классическим и модифицированным
функционалами Лагранжа при решении коэрцитивной задачи 72 ЗАКЛЮЧНИЕ
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
ПРИЛОЖЕНИЕ 1. Результаты численных расчетов для
полукоэрцитивной задачи
ПРИЛОЖЕНИЕ 2. Результаты численных расчетов для
коэрцитивной задачи

ВВЕДЕНИЕ
Актуальность темы
Математическая постановка задач механики сплошной среды сводится к краевой задаче для дифференциального уравнения в частных производных. Многие линейные задачи математической физики допускают естественную вариационную постановку, которая состоит в минимизации выпуклого функционала потенциальной энергии на некотором линейном множестве. Такая постановка позволяет ослабить ограничение на гладкость искомого решение, при этом естественным образом вводится понятие слабого (обобщенного) решения.
В последнее время наибольший интерес представляют нелинейные краевые задачи, соответствующие вариационные постановки которых состоят в минимизации некоторого выпуклого функционала на выпуклом замкнутом множестве. Тем самым, вариационные постановки являются задачами на условный (или безусловный, если допустимое множество представляет собой некоторое пространство функций) экстремум. Третья эквивалентная постановка такого рода задач представляет собой вариационное неравенство.
Теория вариационных неравенств возникла в шестидесятых годах прошлого столетия. Простейшая модельная задача, которая приводит к вариационным неравенствам, - это задача о кратчайшем пути, соединяющим две заданные точки на плоскости и обходящем некоторые препятствия ([43]). Источником же для создания теории вариационных неравенств послужила задача из теории упругости (задача Синьорини), впервые полностью изученная в работе Фикеры [93], где были заложены основы теории вариационных неравенств ([53]). Затем исследование вариационных неравенств продолжилось в работах Ж. Лионса, Г. Стампаккьи и их учеников; в этой связи следует упомянуть следующие работы [13, 31, 32, 38, 95]. В настоящее время данная теория находится в стадии бурного развития и представляет интерес не только для исследовате-лей-математиков и механиков, но и для экономистов, поскольку вариационные неравенства нашли свое применение при моделировании' и исследовании рав-

новесных задач экономики и исследовании операций. Данное направление развивалось и развивается в работах следующих исследователей: Андерсена JI.-E. и ХлудневаА.М. [1], Аннина Б.Д. и Садовского В.М. [2], Аннина Б.Д. и Черепанова Г.П. [3], Антипина A.C. и Васильева Ф.П. [9], Бадриева И.Б. и Задворно-ва O.A. [10], Бердичевского B.JT. [14], Вихтенко Э.М. и НаммаР.В. [23-26], КонноваИ.В. [47-50, 104], Лапина A.B. [51, 52], Мосолова П.П. и Мяснико-ва В.П. [60], Рудого Е.М. и Хлуднева А.М. [72], Рязанцевой И.П. [73-75], Уральцевой H.H. [82], Уральцевой H.H. и Рожковской Т.Н. [83], Хлуднева А.М. [84], Чеботарева А.Ю. [85], Лапина A.B. и Игнатьевой М.А. [101], Лапина A.B., Лайтинена Е. и Пиеска Д. [105] и многих других.
Вернемся к вариационным постановкам нелинейных краевых задач. В этом виде формулируются такие задачи, как задача об упруго-пластическом кручении стержня [3, 53, 86, 108], контактные задачи теории упругости [30, 72, 78, 84, 89, 95, 109], задача о движении вязкопластичной жидкости Бингама [94, 117], задача Синьорини [13, 31, 32, 110], задача теории пластин [78], задача фильтрации [И, 43, 51, 86], задача о препятствии [13], задачи теории пластичности [78] и другие. Из работ, направленных на исследование вариационных постановок подобного рода задач можно также выделить работы Вторуши-наЕ.В. [27], Джангвеладзе Т.А. и Лобжанидзе Г.Б. [37], Клабуковой Л.С. [44, 45] и другие. Настоящая работа посвящения исследованию модельной задачи с трением, которая была сформулирована в работах [31] и [32].
Исследование вариационных постановок проводится с привлечением функциональных пространств С.Л. Соболева, с изложением основ которых можно ознакомиться в работах [46, 55, 58, 59, 80].
Для решения вариационных неравенств широко используется аппарат выпуклого анализа и математического программирования, развитый в работах Васильева Ф.П. [17, 19, 20], Гроссмана К. и Каплана A.A. [36], Нурминско-го Е.А. [63], Мину М. [57], Поляка Б.Т. [66], Пшеничного Б.Н. и Данилина Ю.М. [70], Рокафеллара Р. [71], Экланда И. и Темама Р. [86], и в других многочисленных источниках.

2ук+укр+1 -у*+1>Ю<2/у*+1|(укр+1 -у*+1Із£2
І £2
„ 'п-ґ

N1/2

У*+ІҐЖ
(у£+| -у*+і)| с/П

*+[ _у*+1
іу}(£2)’
І(/ + 2уАл )(у£+1 - у*+1 Щ < /І/ + 2уАі ||у*+і - у*+1|сіО. <

1/2 / „ N,1/2

[|/ + 2% і І
ІягО'*+,-у*+,)Л’
к+1 ,.А+1

сйГЇ

у*+1 -у*+1
(П)’
N1/2
/Г(уГ-у*+1)
{[ (Ур
к+ ,,к +1

Чг У Чг
+ 2(у*+1 -ук+])2]сіО.
N1/2

у*+1-у*+1
у*+1-у*+’

ичЧа)

ігДп)'
Таким образом,

Ур+1 - УА+1
йг'СП) 2 II
ІГ'(П)
Для интерполянта укР+] справедлива оценка [56]
У*р+І-У* +

»4 (П)
..А+1
Ж,2(£2)А+1'
И учитывая неравенство (1.17) и условие что, начиная с некоторого номера к, всеИк<, получим:

"А+1

Щ(П)
С0С8С + -С02С2 |А*+1

где С :

<Г/71/2
- с/Т+1 >
»4 (£2)
с0с8с + с2с2