Спектрально-согласованные сетки для моделирования волновых процессов

• Автор: Лисица, Вадим Викторович
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 90 с. : ил.

Глава 1. ИЗУЧЕННОСТЬ ВОПРОСА

Глава 2. ПОСТРОЕНИЕ СПЕКТРАЛЬНО-СОГЛАСОВАННЫХ СЕТОК ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

2.1 Постановка задачи

21.1 Аналитическое решение

2 12 Конечно-рашостная задача

2 1.3 Построение решения конечно-разностной задачи

2 14 Построение рациональной аппроксимации

2 15 Построение сетки

2 2 Аппроксимации Паде-Чебышева

2 2 1 Построение аппроксимаций

2 2 2 Порядок аппроксимации

2 3 Обратная спектральная задача
2 3 1 Алгоритм, основанный на вращениях Якоби
2 4 Решение во временной области
2 4 1 Задача со смешанными краевыми условиями
2 5 Эксперименты
2 5 1 Линейное возрастание скорости с глубиной
2 5 2 Слоистые среды
Глава 3. ОПТИМАЛЬНЫЙ ИДЕАЛЬНО СОГЛАСОВАННЫЙ СЛОЙ ДЛЯ
СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
31 Постановка задачи
3 2 Существование оптимальной сетки
3 2 1 Построение импедансной функции
3 2 2 Построение конечно-разностной импедансной функции
3 2 3 Порядок сходимости
3 2 4 Восстановление шагов сетки
3 3 Конечно-разносгные схемы .
3 3 1 Схема Вирье
3 3 2 Схема для РМЬ

3 4 Численный эксперимент

Глава 4. МОДЕЛИРОВАНИЕ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ В АНИЗОТРОПНЫХ УПРУГИХ СРЕДАХ
41 Постановка задачи
4 2 Схема Лебедева
4 2 1 Свойства системы уравнений теории упругости для анизотропной
среды
4 2 2 Модификация системы уравнений
4 2 3 Конечно-разностная схема
4 3 Схемы на повернутых сетках
4 31 Построение схемы
4 3 2 Исследование устойчивости
4 3 3 Дисперсионный анализ
4 3 4 Затраты на реяли зацию ... ...
4.4 Построение оптимальной сетки
4 41 Построение импедансной функции
4 4 2 Рациональная аппроксимация
4 5 Построение схемы с применением оптимальных сеток
4 6 Численные эксперименты
4 61 Однородная среда
4 6 2 Слоистая среда
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА

Объектом исследований в данной работе являются сетки для конечно-разностных схем на предмет их оптимизации для моделирования волновых процессов в упругих средах, в том числе анизотропных
Актуальность. При моделировании волновых процессов достаточно распространенным требованием является знание волнового поля не внутри расчетной области, а лишь на некоторой ее границе. Наиболее показательные в этом смысле геофизические эксперименты Применение стандартных конечно-разностных методов для численною решения таких задач приводит к ппантским требованиям на вычислительные ресурсы и временным затратам на их реализацию
Причина этою явления в том, что отображение совокупности параметров среды и особенности волновых процессов в среде в "данные наблюдений"(сейсмофаммы) происходит с катастрофической потерей информации В частности, в трехмерных динамических задачах число параметров, входящих в описание задачи, оценивается величиной 0(Л'4), iде N пропорционально линейному размеру области, в которой развивается волновой процесс и обратно пропорционально шагу сетки Размерность пространства образов - число отсчетов на сейсмограммах - имеет порядок не выше O(N) По-видимому, даже эта оценка является завышенной если принять во внимание гладкость зондирующего сигнала Однако уже этого сопоставления достаточно, чтобы представить насколько сильна потеря информативности при действии оператора, отображающего параметры среды в отсчеты на сейсмограммах
Стандартные способы аппроксимации этого оператора посредством построения разностной схемы для начально-краевой задачи, соответствующей выбранной модели волновых процессов, никак не учитывают этой потери информативности. В определенном смысле оператор оказываемся слишком плохо аппроксимирован - каждая значащая цифра в ответе появляется как результат выполнения огромного числа арифметических операций над входными данными, лежащими в пространстве очень большой размерности Эту размерность нельзя уменьшить, уменьшая N, так как это приведет к увеличению локальной ошибки в промежуточных и окончательных результатах. Повышение порядка аппроксимации разностной схемы хотя и может приводить к некоторым улучшениям, но они не принципиальны.
Аналогичная ситуация возникает и при реализации "неотражающих"!раничных условий, использование которых также необходимо для качественного моделирования геофизических экспериментов Наиболее употребимым является Идеально Согласованный Слой (PML) от ашлийскою Perfectly Matched Layer. Основной идеей метода является окружение расчетной области специально сконструированным слоем, таким что волна проходит через границу без отражений и затухает внутри этого слоя. Несложно видеть, что PML

Матрица этой подсистемы имеет в точности тот же вид, что и уже рассмотренная, с элементами а* = (Л + 2д)//г, > 0, $ = р/к^ > 0 и ц> = т/(рИх) > 0. Все эти элементы положительны, что является достаточным условием невырожденности определителя. □
3.4 Численный эксперимент
Целью данного эксперимента являлся расчет волнового поля для упругой однородной среды в области х 6 [0, оо], у 6 [—оо,оо] и численное исследование затухания амплитуды отраженных волн в зависимости от числа точек в РМЬ. Для моделирования использовалась регулярная область х 6 [0,1], у € [0,1]. Поле скоростей фиксировалось на границе х = 0 при у 6 [0,1], источник находился в точке с координатами (0.25; 0.5). РМЬ примыкал к границам х = 1, у = 0иу = 1, а его толщина составляла три точки. Как видно на рис. 3.2, при отсутствии РМЬ возникают интенсивные отражения от границ регулярной области, в то время как наличие РМЬ приводит к их существенному ослаблению (рис. 3.3).
На рис. 3.4, 3.5 и 3.6 приведена сейсмотрасса при отсутствии РМЬ, при наличии РМЬ, содержащего 3 точки и при наличии РМЬ С четырьмя точками, соответственно. Пунктирными прямоугольниками обозначены целевые отражения. Как можно видеть, интенсивность искусственных отражение при использовании РМЬ с тремя точками составляет порядка 1-2% от их интенсивностей при отсутствии РМЬ. При наличии оптимального РМЬ с четырьмя точками отражения не превосходят 0.1%. Таким образом, наличие 3-4 точек внутри построенного РМЬ оказывается вполне достаточным для подавления отражений.
20 40 60 80 100 120 140 160 180
Рис. 3.2: Волновое поле на поверхности х = 0 при отсутствии РМЬ на границах регулярной области. По оси абсцисс - номер точки по направлению у, по оси ординат - номер слоя по времени.