Разностные методы решения нелокальных краевых задач для псевдопараболических уравнений третьего порядка

• Автор: Бештоков, Мурат Хамидбиевич
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Нальчик
• Количество страниц: 160 с. : ил.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА 1. Метод функции Римана и априорные оценки для решения краевых задач для псевдопараболических уравнений третьего порядка с нелокальным краевым.условием
§1Л. Метод функции Римана для решения краевых задач
1.1.1. Постановка нелокальных краевых задач
1.1.2. Доказательство существования и единственности регулярных решений нелокальных задач методом функции Римана
§1.2. Нелокальные краевые задачи для псевдопараболических уравнений третьего порядка общего вида
ГЛАВА 2. Третья краевая задача для псевдопараболических уравнений третьего порядка общего вида с нелокальным условием
§2.1. Постановка задачи
§2.2. Доказательство существования и единственности регулярного решения задачи методом функции Римана
§2.3. Априорная оценка в дифференциальной форме
§2.4. Сходимость итерационного процесса
§2.5. Построение разностной схемы
§2.6. Погрешность аппроксимации
§2.7. Устойчивость и сходимость разностной схемы
ГЛАВА 3. Краевые задачи для псевдопараболических уравнений третьего порядка общего вида в многомерной области
§3.1. Первая начально-краевая задача для псевдопараболических уравнений третьего порядка общего вида в многомерной области
3.1.1. Постановка задачи
3.1.2. Априорная оценка в дифференциальной форме
3.1.3. Построение разностной схемы
3.1.4. Устойчивость и сходимость разностной схемы
3.1.5. Устойчивость векторных аддитивных схем для уравнения влаго-переноса
§3.2. Третья краевая задача для псевдопараболических уравнений третьего порядка общего вида в многомерной области
3.2.1. Постановка задачи
3.2.2. Априорная оценка в дифференциальной форме
3.2.3. Построение разностной схемы
3.2.4. Устойчивость и сходимость разностной схемы
§3.3. Краевая задача для псевдопараболических уравнений третьего порядка общего вида в многомерной области с нелокальным условием
3.3.1. Постановка задачи
3.3.2. Априорная оценка в дифференциальной форме
3.3.3. Сходимость итерационного процесса
3.3.4. Построение разностной схемы
3.3.5. Устойчивость и сходимость разностной схемы
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
ПРИЛОЖЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ
Актуальность темы. Математическое моделирование многих процессов приводит к изучению нестандартных начально-краевых, прямых и обратных задач для уравнений в частных производных, не имеющих аналогов в классической математической физике.
Важную роль в изучении различных процессов и явлений играют уравнения третьего и более высоких порядков. Например, вопросы фильтрации жидкости в пористых средах, передачи тепла в гетерогенной среде, влагопе-реиоса в почвогрунтах приводят к модифицированным уравнениям диффузии, которые являются уравнениями в частных производных гиперболического типа третьего порядка [5,9.68,73-76,80,81]. Поэтому изучение краевых задач для уравнений третьего и высокого порядков привлекали внимание многих исследователей [8,10-12,19,26-31,37,38.41,42,46,52,60,61,71,76,77,80-90].
Одним из направлений современной теории дифференциальных уравнений с частными производными является постановка новых задач по краевым условиям и поиск методов решения поставленных задач. Последние годы интерес многих математиков вызывают задачи, названные нелокальными.
К первым работам с неклассическими граничными условиями относятся, по-видимому, работы Л.11.Сапоп [86], Камынина Л.И. [25] и Чудновского
А.Ф. [71,72]. Современное естествознание, в основном физические приложения. потребовали дальнейшего развития неклассических краевых задач и, в первую очередь, задач с нелокальными условиями. Естественность постановки задач, когда краевые условия представляют собой соотношение между значениями неизвестной функции, вычисленной в различных точках границы, отмечается в работе В.А.Сгеклова [64].
Особый интерес в теории дифференциальных уравнений представляют краевые задачи с интегральными условиями, которым и посвящена данная диссертационная работа. Заметим, что из физических соображений .условия такого вида совершенно естественны и возникают при математическом мо-

и{х. 1; £. т)q(x1 £)(1х(1Ь + их(0, 0)(0, 0; £, г). (1-И)

С помощью представления (1.11) при £ = / и граничных условий (1.3), (1.4) получим интегральное уравнение

и(1,т) = и(0,т)их(0.т;1,т) - у Кт, 1)и(0, 1)сЙ + ъ(т), (1-12)

/(т, 1) = 1(0,1; /, т)—г]3 (0, *)м(0,1; г, г)-7/(0, г)г/г(0,1; г)+а(0, £)м(0,1; ?, т),
7х(г) = / ((я.О; £,т)ио(:г) - фд 0)м(;г, 0;/, т

+ J J и(х,11,т)д(х, 1)(1х(И.

Подставив краевое условие (1.2) в (1.12), после несложных преобразований получаем

и(1,т) 1 — /?1 (т) 1<г(0, т;1,т) +1 и{1,Ь)(к!(т. г)р1)~ их(0, т; £, т)р(т, £))<&+

+ J(1.13) о о
Последнее слагаемое в левой части (1.13) преобразуем следующим образом:
г £ гг
У у 1(г,0р(*,р)«(г,р) = /,< ,р)ф У К1(т,г)р,р)сИ. (1.14)
0 0 0 р
В силу (1.14) из (1.13) находим интегральное уравнение

и(1,т) 1-01(т)1/х{О,т;1,т) + I К2{т,г)и(1,€)<И. = 7!(т), (1.15)