Разностные методы решения задач конвекции-диффузии с преобладанием конвекции

• Автор: Калпуш, Татьяна Викторовна
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Красноярск
• Количество страниц: 132 с. : ил.

1 Двумерная задача конвекции - диффузии
1.1 Постановка дифференциальной задачи
1.2 Разностная аппроксимация на равномерном шаблоне
1.2.1 Центральные разности
1.2.2 Направленные разности
1.3 Разностная аппроксимация конвективных слагаемых
1.4 Построение обратно-монотонной конечно-разностной схемы
1.5 Регулярные и параболические пограничные слои
1.6 Алгоритм усиления ориентации разностной сетки
1.7 Численный эксперимент
2 Трехмерная задача конвекции - диффузии
2.1 Постановка дифференциальной задачи '
2.2 Разностная аппроксимация конвективных слагаемых
2.3 Построение обратно-монотонной конечно-разностной схемы
3 Метод точной и неточной полной редукции
3.1 Метод полной редукции
3.1.1 Постановка краевой задачи для трехточечных векторных уравнений
3.1.2 Процесс нечетно-четного исключения
3.1.3 Преобразование правой части и обращение матриц
3.1.4 Алгоритм метода
3.1.5 Второй алгоритм метода
3.1.6 Пример применения метода

3.2 Метод неточной полной редукции '
3.2.1 Постановка краевой задачи для трехточечных векторных уравнений
3.2.2 Процесс нечетно-четного исключения
3.2.3 Преобразование правой части и обращение матриц. . .
3.2.4 Алгоритм метода неточной редукции
3.2.5 Применение метода неточной редукции
Заключение
Литература
Математические модели многих процессов в физике, химии, технике описываются дифференциальными уравнениями, содержащими малые параметры, которые появляются как множители перед некоторыми членами уравнений. Если незначительное возмущение параметра в таком уравнении вызывает резкое изменение решение, то зависимость решения от малого параметра называется сингулярной, а само уравнение с малым параметром - сингулярно возмущенным.
Данная работа посвящена разностным методам решения сингулярно возмущенных задач для уравнения конвекции- диффузии с малым параметром при старших производных, характеризующих процесс диффузии. Поскольку в этом случае невозмущенное (вырожденное) уравнение имеет порядок на единицу меньше исходного (возмущенного) уравнения, то существенным отличием невозмущенной задачи от исходной является невозможность выполнения всех поставленных краевых условий. Часть из них оказывается лишней, что приводит к быстрому изменению решения в малой окрестности соответствующих участков границы.
В результате стандартные методы конечных разностей и конечных элементов на равномерной сетке либо неустойчивы, либо дают неудовлетворительную точность при малом значении параметра диффузии. В то же время, построение эффективных численных алгоритмов для решения этого класса задач имеет большое практическое и теоретическое значение. С одной стороны, исследуемые в работе задачи часто выступают как элементы математических моделей при исследовании широкого круга прикладных задач физики, химии, радиоэлектроники, гидродинамики, техники, биологии, теории управления. С другой стороны, они могут рассматриваться как модельные, обладающие характерными чертами целого класса сингулярно возмущенных задач для эллиптических и параболических уравнений.

1.5. Регулярные и параболические пограничные слои

zi,j Є ^2- ’
Это позволяет достичь более высокого порядка аппроксимации первой производной за счет центральной разности:
uij~ui-i,j h4xdzu. h
‘ ыГ“&(с)+іг«?К)' (1Л15)
где С1 лежит на отрезке [zi-ij,Zij]. Поскольку этот отрезок лежит вне регулярного пограничного слоя, то остаточный член в (1.115) является величиной 0(h?) ввиду оценок, вытекающих из (1.111) и определения hitX, /i2tI:
/14,1 2/і,
—(С'*)
дх^
< 4с. (1.116)
Теперь покажем, что аппроксимация вторых производных дает погрешность в точке ( такого же вида. Она складывается из сноса производных в точку ( из Zij и их аппроксимации разностными отношениями. Начнем с ед2и/дх2. Имеем
где G [Zj-IJ, Zij). Вне зоны регулярного пограничного слоя мы имеем оценки (1.116), так что остаточный член в (1.117) имеет величину O(sh). Теперь рассмотрим погрешность аппроксимации, вносимую разделенными разностями:
(У-Ц ~ Ukj- 1J _ Uj+lj ~ игЛ =
hi х Т ^5,х ^4,х h-5,x I
4 7 (1.118)
— А 4 ^4.ig д3и .Д. h5 хе д2и . h.
дх2 lJ 3(h4>x + h5iX) dxz 2 3(/i4)I + h5tX) dxz
где ^ Zij], a £3 G [zjj, Zj+ij], Вне зоны регулярного пограничного
слоя благодаря оценкам (1.116) два остаточных члена в (1.118) имеют величину 0(eh).
Поскольку аналогичные рассуждения справедливы для производной ед2и/ду2, то вне пограничных слоев, в сеточной области погрешность аппроксимации сеточного уравнения (1.114) имеет величину 0(h2 + eh).
В зонах П4 U П5 U fig внутри регулярного пограничного слоя шаги сетки в направлении х значительно меньше е. Это приводит к выполнению условия