Кубатурные формулы для периодических функций

• Автор: Осипов, Николай Николаевич
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Красноярск
• Количество страниц: 192 с. : ил.

§1. О содержании диссертации

§2. Об обозначениях

1. Метод воспроизводящего ядра и минимальные кубатурные

формулы с тригонометрическим (7-СВОЙСТВОМ

§1. Воспроизводящее ядро функционального пространства

со скалярным произведением

§2. Нижняя граница для числа узлов кубатурных формул

с тригонометрическим (^-СВОЙСТВОМ

§3. Минимальные кубатурные формулы с тригонометрическим

(7-свойством

§4. Минимальные кубатурные формулы с тригонометрическим

^-свойством при п
§5. О минимальных решетчатых кубатурных формулах
с тригонометрическим (7-свойством при п
Приложение. Доказательство теорем 1.1 и 1
2. Построение серий решетчатых кубатурных формул
с тригонометрическим (7(А;)-свойством
§1. Решетки и решетчатые кубатурные формулы
§2. Критические определители и критические решетки
§3. Минимальные решетчатые кубатурные формулы
с тригонометрическим (7-свойством при п

§4. Построение серий решетчатых кубатурных формул
с тригонометрическим <7(/г)-свойством
§5. Наилучшие по числу узлов серии решетчатых кубатурных
формул с тригонометрическим с?(/г)-свойством при п
§6. Примеры серий решетчатых кубатурных формул
с тригонометрическим с1(к)-свойством при п
§7. Приложение к дискретному преобразованию Фурье
3. Решетчатые кубатурные формулы на пространствах
функций с доминирующей производной
§1. Предварительные сведения. Пространства (Л)
§2. Оценка нормы функционала погрешности решетчатых
кубатурных формул на пространствах (Л)
§3. Частный случай р = 2, д = О
Список литературы

§1. О содержании диссертации
Проблема приближенного вычисления интегралов привлекает к себе внимание математиков уже несколько столетий и, по-видимому, еще долго будет актуальной ввиду как бесконечного разнообразия подынтегральных функций, так и весьма широкого круга постановок задач приближенного интегрирования. Эти задачи находятся, как правило, в русле трех направлений. Первое из них характеризуется построением кубатурных формул (т.е. правил приближенного интегрирования), точных на некотором конечномерном классе функций, при этом на число или расположение узлов кубатурных формул накладываются те или иные ограничения. Второе направление включает в себя изучение нормы функционала погрешности кубатурной формулы в предположении, что рассматриваемый класс интегрируемых функций представляет собой некоторое банахово пространство (обычно кубатурная формула зависит от малого параметра, а изучается поведение нормы ее функционала погрешности при стремлении этого параметра к нулю). Третье направление связано с методами Монте-Карло, в основе которых лежит моделирование случайных величин, а также с методами, использующими различные равномерно распределенные последовательности неслучайных точек (например, ЛПГ последовательности Соболя [91]).
Основное внимание в диссертации уделено первому направлению, причем в качестве класса функций выбрано множество тригонометрических многочленов, степень которых ограничена некоторой фиксированной величиной (вообще говоря, произвольной). Частично затронуто и второе направление, а вот третье по существу осталось за рамками настоящей работы (здесь мы отсылаем заинтересованного читателя к соответствующей литературе, например [4], [92], [25], [37], [38]).
Основная задача, решаемая в диссертации, заключается в построении и исследовании кубатурных формул, точных на указанном классе функций,

для любых z, w € Т£. Здесь введены обозначения
Z=zi/z2, Z2 — ZZ2i Wi=Wi/w2, W2 = WW2Нетрудно видеть, что все комплексные корни многочлена Фk{t) суть числа Ф (1 ^ I ^ к), где С = ехр (27Гi/(k + 1)) — первообразный корень из единицы степени к + 1. Сформулируем и докажем одно вспомогательное утверждение о корнях из единицы.
ЛЕММА 1.1. Пусть набор чисел Uj 6 € (1 ^ j < N') удовлетворяет следующим условиям:
а) Uj+l = 1 для любого j, 1 ^ j^ N'
б) для любого натурального т, 1 ^ т ^ к, имеем
ИиГ = °-

Тогда N' = (к + 1 )N", а сам набор состоит из N" раз повторяющихся чисел
Ф (0 ^ К к).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Согласно условию а), набор состоит только из чисел вида ф, где 0 ^ К к. Предположим, что число ф встречается в наборе раз, так что
дг(°) + дг( 1) + ... + Nw = N'.
Суммируя все равенства, указанные в условии б), получим к N' N' к к к
°=Е1>Г = EEt/f = EEEf/f
тп=1 j=1 j=l m=l 1=0 Uj=Çl m=l
= + JVW(-l) + ... + 1).
Следовательно, N' = (к + 1)N^°
Рассматривая новый набор чисел Uj — Ç~lUj, где 1 ^ j ^ N', для которого также выполнены условия а) и б), аналогично найдем, что N' = (к + 1)Д^^ и т.д. Таким образом,
дг(°) _ дг(1) = ... = N(k) = N«t N> _ (к +