Алгоритмы вычисления многомерных степенных сумм корней систем трансцендентных уравнений

• Автор: Качаева, Татьяна Ивановна
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Красноярск
• Количество страниц: 91 с.

1. Общая характеристика работы

1.1. Актуальность темы

1.2. Цель диссертации

1.3. Методика исследования

1.4. Научная новизна

1.5. Практическая и теоретическая ценность

1.6. Апробация работы

1.7. Публикации

1.8. Структура и объем работы

2. Содержание работы

Глава 1. Предварительная

1. Многомерный логарифмический вычет
2. Алгоритмы исключения неизвестных
2.1. Классическая схема исключения неизвестных
2.2. Метод исключения неизвестных, основанный на формуле
многомерного логарифмического вычета
3. Система компьютерной алгебры МАТЕМАТИКА
Глава 2. Формулы для нахождения степенных сумм корней систем трансцендентных уравнений
4. Постановка задачи
5. Нахождение степенных сумм корней систем трансцендентных
уравнений
6. Рекуррентные формулы Ньютона для трансцендентных функций
одного комплексного переменного
7. Исключение неизвестных из систем мероморфных функций
8. Нахождение сумм некоторых кратных рядов
Глава 3. Компьютерная реализация полученных алгоритмов
9. Компьютерная реализация для систем с выделенной младшей
однородной частью
9.1. Алгоритм
9.2. Описание программы
9.3. Примеры
10. Компьютерная реализация для систем трансцендентных функций
с младшей однородной частью треугольного вида
10.1. Алгоритм
10.2. Описание программы
10.3. Примеры
11. Компьютерная реализация метода исключения переменных
Литература
Приложение А. Программа вычисление интеграла Зр и степенной
суммы для системы полиномов вида (1.1)
Приложение В. Программа вычисление интеграла Зр и степенной
суммы для системы трансцендентных функций вида (2.1)

1. Общая характеристика работы
1.1. Актуальность темы. Алгоритмы нахождения степенных сумм корней систем нелинейных уравнений основываются на формуле многомерного логарифмического вычета (см., например, [2, 19, 20]). Эта формула дает интегральное представление для таких степенных сумм. Интеграл в ней вычисляется по циклам (остовам аналитических полиэдров) действительной размерности п. Для алгебраических отображений известны формулы вычисления данного интеграла через коэффициенты полиномов, входящих в систему (см., например, [2, 5, 19, 23]).
На основе этих формул Л.А.Айзенбергом [1] был предложен модифицированный метод исключения неизвестных из систем алгебраических уравнений, развитый затем в [5, 23]. Но эти формулы настолько сложны, что практически (без разработки алгоритмов вычисления) их невозможно применить даже для простых систем. Особенно для систем, содержащих параметры. Первые попытки создания таких алгоритмов (и их компьютерная реализация) для систем с выделенной главной частью, треугольных систем были даны в работах В.И.Быкова, А.М.Кытманова, М.З.Лазмана, Т.А.Осетровой [4-7, 23]. Для невырожденных систем алгебраических уравнений (практически самых общих алгебраических систем) такие разработки были осуществлены в [8, 16].
Для систем трансцендентных уравнений таких формул и алгоритмов известно не было. Это связано с тем, что системы трансцендентных функций, как правило, имеют бесконечное число корней и, тогда степенные суммы корней (в положительной степени) являются расходящимися рядами. Поэтому целесообразно рассмотреть степенные суммы корней в отрицательных степенях (т.е. степенные суммы от величин, обратных корням системы). К этим степенным суммам напрямую не применима формула логарифмического вычета, она нуждается в дополнительном обосновании. Более того, для систем
стремиться к нулю по теореме 5.1. Следовательно, все функции fj — голоморфны и не равны нулю вблизи точки 0 и вне координатных плоскостей, поэтому ДЛЯ НИХ определены интегралы др.
ТЕОРЕМА 5.3. Для системы (2.6) с функциями вида (2.12) ряды ар+/ сходятся и справедливы равенства
Н ~ {-^Тар+іДоказательство. Так как

/Гм лГм //Гм /Гм /Гм /Гм ’

,Л(1)<» А ,/2(1)(2) л А
А ... А сі /дч
л(2)(-г) /2(2)(<*) Л)
(Л Д(1) (г) д Д(2) [г) У А /2(1) (г) д /2(2) (г)
“ V л(1)(-) л(2)(^) П #(-) /і2У)Г" и4« /»2)(^)
А ^/2Ы00 А . ^/УУ)
1) $*{х) /*>(,) Л-Л ,(<->(*)’ где в — это число сомножителей, для которых гг = 2, а сумма берется по
всевозможным наборам чисел ДДг,... ,гп, равных 1 или 2.
Поэтому теорему достаточно доказать для целых функций /Д-г). В этом
случае
<*/*•(*) _ ^ Д

Поскольку бесконечное произведение ]Д Д., (г) сходится абсолютно и равно-

мерно на компактах в С”, то последний ряд сходится абсолютно и равномерно на 7(г) для достаточно малых г у Таким образом, интеграл др существует и равен сумме интегралов вида

т)п У
(2тгг)п У г^1 ДлО) /2^(2) /Піп(г) '
7(г)