Оценка характеристик, определяющих аппроксимативные свойства тригонометрических операторов Баскакова и некоторых других методов суммирования рядов Фурье

• Автор: Дубровина, Татьяна Владимировна
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Чита
• Количество страниц: 68 с.

Глава 1. Тригонометрические операторы Баскакова

1.1. Определение операторов Баскакова и некоторые их свойства

1.2. Рекуррентное соотношение. Значение Я

7,И

1.3. Тождество В.А. Баскакова. Множители суммирования

тку кт)

1.4. Вспомогательное утверждение. Значение операторов Баскакова в нуле на степенях

1.5. Оценка приближения операторами Баскакова достаточно гладких функций

1.6. Ослабление условий теоремы 1.1. Оценка приближения операторами Баскакова функций класса

Глава 2. Некоторые линейные комбинации операторов Баскакова

2.1. Общие замечания
2.2. Линейные комбинации операторов лДтХ*1>->*т-1>91)
и М^”Х*ь-Лт-иЧг)
2.3. Линейные комбинации операторов Д/М*1 >*г) и
2.4. Линейные комбинации операторов М^Х2)
и М[Ф)
3 1 5
Глава 3. Приближение функций класса 1Г Н и IV Н некоторыми
операторами, предложенными Е.М. Ершовой
3.1. Предварительные замечания
3.2. Операторы £)^

3.3. Операторы
3.4. Операторы
Литература

Актуальность темы. Традиционным направлением в теории приближений является эффективное построение и исследование аппроксимативных свойств линейных методов суммирования рядов Фурье.
В недавнее время В.А. Баскаков определил совокупность методов
суммирования рядов Фурье - операторы Д»?) ^ где т /с _ целые
параметры, определяющие конкретный вид операторов (Баскаков В.А. Об операторах класса 52т, построенных на ядрах Фейера //Применение функционального анализа в теории прибл. - Тверь, 2001. - С. 5 - 11).
Эта совокупность обладает следующим свойством: для любого класса
1¥гНа найдется аппроксимирующая последовательность, принадлежащая совокупности операторов Баскакова, которая приближает функции этого класса с наилучшим порядком.
Кроме того, результаты, связанные с приближением операторами Баскакова периодической функцией Хевисайда имеют практическое значение и могут быть использованы для проектирования цифровых фильтров [5].
В связи с этим становится актуальным изучение аппроксимативных свойств операторов Баскакова.
Если методы получения аппроксимативных оценок, содержащих константы, для классов «не слишком гладких» функций разработаны и хорошо известны, то получение таких оценок для функций, принадлежащих классам насыщения, в ряде случаев вызывает значительные трудности.
В диссертационной работе решается задача получения аппроксимационных оценок приближения операторами Баскакова функций, принадлежащих классам насыщения. Решение потребовало нетрадиционных подходов.
Цель работы. Работа посвящена изучению аппроксимативных свойств тригонометрических операторов Баскакова Мп, а также получению оценок приближения достаточно гладких функций операторами Баскакова и
Используя разложения в ряд Тейлора
cos х = 1 - — х2 + — х4 + 0
±х4+о(х6),
2 х = -(l- cos2x) = х2 - — х4 + — х6 + £?(х8)= х2 --х4 + —х6 + <э(х8),
2К 4! 6! х ' 3
можно получить представления К^(п), К^(п), К^(п) в виде выражения,
о[п~2), о[п~4), о(п~6) и остаток (который мы
содержащего слагаемые порядка не раскрываем) порядка От

В итоге убеждаемся, что во всех выражениях коэффициенты при п и
п равны нулю и (п), К^(п), К^(п) имеют следующие представления
+°И)’ K2^=^Y16+0(n~8l к^=^у^б+0(п~*1
J п J п J п
Таким образом
. 2 ntf 8 2 224 488 / ч
5 _ sin — -cos t + cos/ + + 4* (t)
2 1 5 5 5 n
A2%(0,x)=^ J/(f + x) {
n П sin — ]~[ I cos?
при ЭТОМ ||^(r|
Отсюда следует, что существует яр, такое, что при п >
8 2 224 488 м п
-cos t + COS/H ь¥Мп>0.
5 5 5 n
Используя приемы, разработанные в первой главе, получим следующие представления Х^’2,3)((2г ,о] при i>