Комплекс алгоритмов и программ для вычисления фейнмановских интегралов

• Автор: Смирнов, Александр Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 191 с. : ил.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
ГЛАВА 1. Редукция фейнмановских интегралов
1.1. Постановка задачи редукции
1.2. Определение мастер-интегралов
1.3. Методы редукции
1.3.1. Секторы
1.3.2. Упорядочение внутри сектора
1.3.3. Алгоритм Лапорты
1.3.4. Базисы Грёбнера
1.3.5. s-базисы
1.4. Описание программы редукции FIRE
1.4.1. Алгоритмическая редукция
1.4.2. Организация параллельных вычислений
1.5. Теоремы конечности
1.6. Итоги первой главы
ГЛАВА 2. Вычисление фейнмановских интегралов
2.1. Вычисление методом разложения по секторам
2.1.1. Параметрическое представление и проблема разрешения особенностей
2.1.2. Разложение по секторам
2.1.3. Секторы Хеппа и Спира
2.1.4. Стратегии разложения по секторам
2.1.5. Стратегия S
2.1.6. Предразрешение
2.1.7. Описание программы вычисления FIESTA
2.2. Вычисление методом Меллина-Барнса
2.2.1. Модифицированная стратегия А
2.2.2. Описание алгоритма и программы MBresolve
2.2.3. PSLQ — нахождение трансцендентных чисел по высокоточному
численному значению
2.3. Итоги второй главы
ГЛАВА 3. Асимптотическое разложение фейнмановских интегралов
3.1. Метод областей для асимптотического разложения
3.1.1. Геометрический подход к асимптотическому разложению
3.1.2. Реализация в виде программы asy
3.2. Разложение по секторам как метод асимптотического разложения .
3.2.1. Алгоритм асимптотического разложения и его реализация в программе FIESTA
3.3. Итоги третьей главы
ГЛАВА 4. Описание комплекса программ
4.1. FIRE
4.1.1. Синтаксис основной программы
4.1.2. S Bases
4.1.3. Примеры
4.1.4. Оптимизация
4.2. FIESTA
4.2.1. Установка
4.2.2. Синтаксис
4.2.3. Оптимальный выбор опций
4.3. MBresolve
4.4. Программа поиска областей asy
4.5. Другие программы
4.5.1. ОЬтк
4.5.2. Илпк
4.5.3. иР
4.5.4. ЮР
4.6. Итоги четвертой главы
ГЛАВА 5. Применения
5.1. Декаплинг с-кварковых петель в процессах с участием Ь-кварка
5.1.1. Первый класс интегралов
5.1.2. Второй класс интегралов
5.1.3. Результаты
5.2. Трехпетлевой статический кварковый потенциал
5.2.1. Процедура вычисления
5.2.2. Результаты
5.2.3. Применения
5.3. Кварковые и глюонные трехпетлевые формфакторы
5.3.1. Два подхода к редукции
5.3.2. Результаты
5.4. Низкоэнергетические моменты корреляторов тяжёлых кварков в четырёхпетлевом приближении
5.4.1. Собственно-энергетические вставки
5.4.2. Результаты
Заключение
Список иллюстраций
Список таблиц
Литература

1.3.5. з-базисы
Автором была разработана модификация [122] базисов Грёбнера, так называемые 5-базисы, которые позволили более успешно строить редукционные базисы, чем в классическом подходе. Разработанный алгоритм построения базисов основывается на алгоритме Бухбергера, но имеет существенные модификации.
Зафиксируем нетривиальное направление и — {щ, сг,..., сп}, и пусть Р = {Ри ■ ■ ■,Рп} = {(сі + 1)/2,..., (с„ + 1)/2}.
Представление интеграла в виде линейной комбинации младших интегралов будем называть правильным выражением. Нашей задачей является построение в-базиса для этого направления, т.е. такого базиса {Хі,..., X*,} С Ї, что для всех интегралов в этом секторе, кроме конечного числа, можно построить правильное выражение.
Соотношения (1.3) задают изначальный базис идеала X, но, вообще говоря, этот базис не является 5-базисом. Более того, необходим подходящий выбор упорядочения для того, чтобы процедура редукции была эффективной.
Мы опишем алгоритм, который берет в качестве изначального базис, состоящий из соотношений (1.3), и стремится построить 5-базис. Результат и эффективность работы алгоритма сильно зависят от выбора упорядочения, которое в сложных случаях найти нетривиально. Предположим, что мы уже зафиксировали конкретное упорядочение и начальный базис {Хі,... ,Хк} С I. Перейдем к описанию алгоритма.
Будем говорить, что и-степень монома г(Аі,..., Ап) ф[г равна {(Ащ, .. .,йпсп}, если все произведения сііСі неотрицательны. В противном случае будем говорить, что степень монома не определена. Заметим, что это определение и последующие зависят от выбора направления и, но оно зафиксировано в этом параграфе.