Исследование и численное решение интегральных уравнений трехмерных стационарных задач дифракции акустических волн

• Автор: Каширин, Алексей Алексеевич
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Хабаровск
• Количество страниц: 118 с. : ил.

Глава 1. Интегральные уравнения трёхмерной стационарной задачи дифракции акустических волн
1.1. Классическая постановка трёхмерной стационарной задачи дифракции акустических волн
1.2. Интегральные формулировки исходной задачи
1.2.1. Система интегральных уравнений смешанного типа
1.2.2. Интегральные уравнения I рода с одной неизвестной плотностью
1.3. Обобщённые решения интегральных уравнений трёхмерной
стационарной задачи дифракции акустических волн
1.3.1. Обобщённая постановка исходной задачи
1.3.2. Обобщённое решение смешанной системы интегральных уравнений
1.3.3. Обобщённые решения интегральных уравнений I рода с одной неизвестной плотностью
1.4. Вспомогательные утверждения
Глава 2. Интегральные уравнения краевых задач для уравнения
Гельмгольца и их численное решение
2.1. Метод численного решения
2.1.1. Дискретизация интегральных уравнений
2.1.2. Аппроксимация интегральных операторов
2.1.3. О решении краевых задач на спектре интегральных операторов
2.2. Итерационные методы вариационного типа для решения СЛАУ с плотно заполненными матрицами
2.2.1. Основные понятия и обозначения
2.2.2. Критерии отбора итерационных методов
2.2.3. Алгоритмы итерационных методов и теоремы сходимости
2.2.4. Критерий остановки счёта
2.3. Численное решение краевых задач
2.3.1. Внутренние краевые задачи для уравнения Гельмгольца
2.3.2. Решение 1 краевой задачи на спектре
2.3.3. Численное исследование сходимости приближённых решений интегральных уравнений 1 и 2 краевых задач
2.4. Зависимость числа итераций от размерности СЛАУ
Глава 3. Численное моделирование дифракции акустических волн на трёхмерных включениях
3.1. Тестирование численного метода решения задач дифракции
3.1.1. Рассеяние плоской акустической волны на шаре
3.1.2. Проверка сходимости приближённых решений
3.1.3. Численное решение интегральных уравнений на спектре
3.2. Вычисление размерностей подпространств Крылова
3.3. Результаты компьютерного моделирования процессов дифракции
Заключение
Литература

Математическое моделирование процессов распространения стационарных воли в средах с трёхмерными включениями играет важную роль в различных областях науки и техники и приводит к постановке достаточно сложных задач математической физики. Такие задачи принято называть задачами дифракции (трансмиссии) или задачами рассеяния. Они встречаются, например, в радиофизике, дефектоскопии, оптике, акустике океана и атмосферы, геофизике.
В данной работе рассматриваются, в основном, вопросы численного решения трёхмерных стационарных задач дифракции акустических волн. С математической точки зрения они заключаются в решении скалярных уравнений Гельмгольца, которые описывают процессы распространения акустических колебаний в трёхмерном пространстве и содержащемся в нём локальном включении. При этом искомые решения должны удовлетворять контактным условиям, заданным на границе включения, и условиям излучения на бесконечности. Кроме того, их поведение существенным образом зависит от отношения длин падающих волн к характерным размерам включений.
Аналитические решения задач дифракции могут быть найдены только в исключительных случаях, когда граница включения имеет достаточно простую геометрическую форму (например, сфера или эллипсоид). Для построения решений таких задач используются методы Винера-Хопфа, интегральных преобразований, степенных рядов [49, 50, 59, 62]. Важность аналитических методов заключается в том, что полученные с их помощью решения позволяют описывать исследуемые процессы с высокой степенью точности. Поэтому аналитические решения могут быть использованы в качестве тестовых при изучении задач дифракции с рассеивателями более сложной формы.
Ещё один подход к решению данного класса задач связан с изучением асимптотического поведения искомых решений при малых и больших значениях частоты исходного волнового поля. В случае низкочастотного рассеяния акустических волн для построения решений обычно используют методы теории

=±1.5г,(гУ')!, + ((2У')’ +з(гУ-)(2У)(гУ))»--г. (д, + 4!)(гУ)и,ю = ±0.57, (з(гТ)! -г,! (4, + к1)), +
+((гУ')' + з(гУ' )(гУ" )(гУ) -г(4, + )(гУ")] = = ±0.57„(з(г7')!-г’(д,+*!))9 + (гу)!к,
(•^)‘ = "(К)’ И*) + (IV' )(гУ )’)»„„ +
+{(гХ!')б(гГ)г(гТ)(гЧ-)у,ш
= 4((гУ')3-(хУ’)^ (*г +Д,))(гУ")И,(„, +
(2.18)
+((гУ'),+б(гУ')2(гГ)г+(2Г )*)„„„ = = ±2гД2У-)((Л')г-г;(Р+4,))? + (2У) уеят.
Подставив (2.14)-(2.18) в (2.13) и используя свойства функции \)(г) из (2.11), имеем
+и{е(>) = ^\)^ис!г = и, хеГ,
/г5
У)"+и11)= 0.5д
|2я|>(г)с12- ^2п\1(г)с1г --Vii ^7лу(2)ск

2п^
+ о(а3), хеГ.
£/(2,+С/‘2)
гпЩ1{г)скV“-