О формулах малышевского типа для метрических матричных задач

• Автор: Назари Али Мохаммад Рахим
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 104 с.

Список обозначений

Глава 1. Формула Малышева и ее следствия

1.1. Недиагонализуемость ближайшей матрицы

1.2. Необходимое условие экстремума в нуле

1.3. Случай нормальной матрицы А

1.4. Вычислительные аспекты

Глава 2. Расстояние до множества матриц с тройным собственным значением нуль

2.1. Нижняя оценка для расстояния

2.2. Необходимые условия экстремума

2.3. Построение минимального возмущения в основном варианте

2.4. Случай нормальной матрицы А

2.4.1. Редукция задачи
2.4.2. Сингулярные числа матрицы Г
2.4.3. Случай сгп(А) = ап-{А)
2.4.4. Доказательство неравенств (2.58)
2.5. Доказательство формулы для анормальной матрицы
2.5.1.Максимум в точке 7*
2.5.2. Максимум в точке 7* = (71,0,0)
2.6. Вычислительные аспекты
Глава 3. Расстояние до множества матриц с парой собственных значений, симметричных относитедьно нуля
3.1. Нижняя оценка для расстояния
3.2. Исследование функции /(7)
3.3. Необходимые условия экстремума
3.4. Построение минимального возмущения
3.5. Случай нормальной матрицы Л
Заключение
Литература
Приложение1. Тексты процедур, вычисляющих ближайшие матрицы с
двойным и тройным собственным значением нуль Приложение2. Рисунки к разделу 2

Список обозначений
К — поле вещественных чисел С — поле комплекснных чисел
11" — арифметическое пространство размерности п над К
С" — арифметическое пространство размерности п над С
Мт,п{К) — пространство вещественных т х п—матриц
Мп(11) — пространство вещественных квадратных матриц порядка п
Мт,п(С) ~ пространство комплексных т х п—матриц
Мп(С) — пространство комплексных квадратных матриц порядка п
1п — единичная матрица
О — число нуль, нулевой вектор или нулевая матрица (размер определяется контекстом)
А — матрица, полученная из А взятием поэлементного сопряжения АТ — транспонированная матрица А* — сопряженная матрица Л-1 — обратная матрица
А+ — псевдообратная матрица Мура—Пенроуза || • Ц2 — евклидова норма вектора, спектральная норма матрицы А* (Л) — собственные значения матрицы Л а г (Л) — сингулярные числа матрицы Л
С — множество п х п-матриц с кратным собственным значением нуль М. — множество п х п-матриц с собственным значением нуль кратности >
/Сд — множество п х п-матриц, имеющих пару собственных значений (А, -А)
Л4Г — множество п х п-матриц ранга < г

2.4.1. Редукция задачи
Пусть А — нормальная п х п-матрица со спектральным разложением
А = WKW*,
где W — унитарная матрица собственных векторов, а
Л = diag(Ai An). (2.70)
Порядок собственных значений в (2.70) подчинен условиям
Ы>|А2|>...>|А„]. (2.71)
Произведем с матрицей Q(7) унитарное подобие
Q(7) -+ R(7) = U*Q{j)U,

£/ = И^ф^еЖ
Получим
/ Л 717з/„
R( 7)

(2.71)
0 Л 7г4 ч 0 0 Л
Симметричной перестановкой строк и столбцов матрица (2.71) приводится к прямой сумме
5(7)=Г1ф.--0ГП1 (2.72)

Ai 71
0 Ai
0 0 Ai
* = 1,2,... ,п.