Применение разностных методов к решению внутренних задач динамики вязкого газа

• Автор: Романова, Татьяна Николаевна
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1983
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 129 c. : ил

п.1. Актуальность темы и цель работы
п.2, Краткое содержание работы
ГЛАВА I. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ §1, Обзор теоретических и экспериментальных работ
п.1. Экспериментальные исследования
п.2. Аналитические решения
п.З. Численные решения
§2. Краткая характеристика разностных схем и сеток, применяемых для решения полных уравнений Навье-Стокса
§3. Общая постановка задачи
п.1. Исходные уравнения
п.2. Преобразование исходных уравнении
Глава II. ЧИСЛЕШОЕ РЕШЕНИЕ ОДНОМЕРНОЙ ЗАДАЧИ §1. Постановка задачи и конечно-разностный метод
решения
§2. Анализ численных результатов
Глава III. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ДВУМЕРНОЙ ЗАДАЧИ §1. Конечно-разностная схема для решения полных
уравнений Навье-Стокса
§2. Анализ устойчивости схемы для линеаризованной
системы уравнений Навье-Стокса
§3. Результаты методических расчетов
§4. Анализ результатов расчетов двумерной задачи
о резонансной трубе
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА
■ ПРИЛОЖЕНИЯ

ВЩЕНИЕ
п.1. Актуальность теш и цель работы.
При исследовании некоторых проблем аэродинамики возникает ряд задач, связанных с моделированием сложных течений газа внутри закрытых областей. Наряду с натурными экспериментами все большее значение в последние годы приобретает так называемый вычислительный эксперимент, позволяющий рассматривать более широкий диапазон изменений основных определящих параметров (например, чисел Маха и Рейнольдса). Для ряда внутренних задач газодинамики очень важен учет аффектов вязкости и теплопроводности газа, так как он позволяет проследить изменение трения и тепловых потоков на границах области, а это имеет существенное значение для получения реальной картины течения.
Одной из интересных и актуальных внутренних задач газовой динамики является задача о резонансной трубе.
В начале 50-х годов Спренгер [I] экспериментально обнаружил эффект сильного нагрева газа (до Ю00°К и выше) в цилиндрической полости, при натекании на нее сверхзвуковой недорасширенной струи воздуха. Устройство, в котором недорасширенная струя возбуждает. .. колебания рабочего газа в цилиндрической полости, ось которой совпадает с осью струи, называют трубой или резонатором Гартмана -Спренгера (трубой ГС). Исследования движения газа в резонаторе. ГС представляет интерес как в теоретическом аспекте, так и с точки зрения различных практических приложений, например, в области физической химии и в ракетостроении. Так, возможность использования трубы ГС для воспламенения горячих смесей рассмотрена в [гз] , для создания плазмы в [м] , а в работе [25] описывается метод, измерения скорости абсорбции в газах с помощью резонансной трубы.

Из первых экспериментальных работ стало известно, что характерной чертой движения газа в цилиндрической полости является нестационарный ударно-волновой процесс. От колеблющейся поверхности, раз делящей газ струи и рабочий газ в трубе (контактной поверхности), внутрь полости распространяются волны сжатия и разрежения, которые многократно отражаются от дна трубы и взаимодействуют между собой. Точное рассмотрение такого процесса представляет собой сложную задачу, поэтому полного аналитического решения она пока не имеет. В том случае, когда проникновение струи в полость резонатора незначительно, и контактная поверхность колеблется с малыми амплитудами (что соответствует небольшому различию давления торможения струи и давления в резонаторе), с целью моделирования поверхность раздела можно заменить твердым поршнем, колеблющимся у открытого конца трубы с заданной амплитудой. Такая упрощенная модель резонансной трубы позволяет получить ориентировочную оценку ожидаемых эффектов. Задача о резонансной трубе с поршнем ранее рассматривалась численно только в одномерной постановке, причем эффекты вязкости и теплопроводности не учитывались.
Основной целью диссертационной работы является численное исследование более полной математической модели движения газа в резонансной трубе с поршнем, а именно, рассмотрение двумерной постановки задачи с учетом важных реально существующих эффектов вязкости и теплопроводности сжимаемого газа на основе полных нестационарных уравнений Навье-Стокса. Задача решается конечно-разностным методом по схеме второго порядка точности по пространству и первого порядка точности по времени.

Приведя уравнение к общему знаменателю и группируя члены, получим квадратное уравнение:
Лг(і^в1)(і + Бг) АШМі)(і+В2)-2(В)+В2+Вз)-і]+ сз.зэ)
(Д+В1)(1+Б2>1-(Вл+Б2+Вз)

Найдем корни этого уравнения.
ц _ 2 (В| +в2+Вз)
и 2( 1+в7)(1 + В2)
где 1ъёГ =/І2(1+Ві)(І+Бг)-2(В,+Вг+В3)-1]!: --4(И В1)0Г+Вг)[(1 + Ві)(і+В2)-(В1 +В2+В3)-1]'.
Раскрыв скобки и приведя подобные члены под знаком корня, оценим Z5et1 сверху, учитывая, что 1 + В^>0, 1+В2>0 на основании
равенств (3.37).
'у/ІЗеї -/ + + + + Е>2 + ^3 +
<Х/іМ(В1 + В2 + Ві)(1+В1+В2+ВзУ '/0 + 2(В| + Вз|Г=
= | 1 + 2(В1 + Вг+ В3)| - (3-40)
Поскольку мы рассматриваем арифметическое значение корня, то верхняя граница должна быть положительной, то есть:
1 + 2 (В* + В>2 + Вз) ^0 • (3.41)
Найдем условие, при котором условие (3.41) выполнимо.
Учитывая равенства (3.37), можно сказать, что > 0 ,
В £ > 0 , а Вз может быть как положительным так и отрицательным. Если Вз^ 0 , то неравенство (3.41) выполняется всегда. Рассмотрим случай, когда Вз