Некоторые методы обращения преобразования Лапласа и их приложения

• Автор: Матвеева, Татьяна Александровна
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 117 с.

СОДЕРЖАНИЕ
Введение
Глава 1. Квадратурные формулы наивысшей степени точности и их свойства
§ 1. Основные свойства КФНСТ
§ 2. Построение КФНСТ
§ 3. Связь КФНСТ с аппроксимациями Паде функции ехр (р)
§ 4. Поведение дельтообразных ядер, порождаемых квадратурными формулами обращения преобразования Лапласа
§ 5. КФНСТ в случае комплексного числа s
Глава 2. Квадратурные формулы численного обращения преобразования Лапласа с наименьшими оценками погрешности 34 § 1. Оценки погрешности произвольных квадратурных формул
§ 2. Оценки погрешности КФНСТ
§ 3. Квадратурные формулы с фиксированными узлами, имеющие наименьшие оценки погрешности
§ 4. Оптимальные квадратурные формулы с наименьшими оценками погрешности
Глава 3. Общий подход к построению квадратурных формул обращения преобразования Лапласа
§ 1. Первый способ построения квадратурной формулы
§ 2. Второй способ построения квадратурной формулы
§ 3. Третий способ построения квадратурной формулы
§ 4. Оценки погрешности квадратурных формул
Глава 4. Обобщенные квадратурные формулы наивысшей степени точности
§ 1. Дробно-экспоненциальные функции Работнова

§ 2. Обобщенные квадратурные формулы
§ 3. Свойства ОКФНСТ
§ 4. Оценки погрешности ОКФНСТ
§ 5. Представление ОКФНСТ сингулярным интегралом
и исследование соответствующего дельта-ядра
§ 6. Некоторые применения ОКФНСТ
§ 7. Примеры использования ОКФНСТ и оценок погрешности Глава 5. Вычисление скачков оригинала по известному изображению
§ 1. Вычисление скачков оригинала по его изображению с помощью КФНСТ в случае одной точки разрыва
§ 2. Вычисление скачков оригинала по его изображению с помощью КФНСТ в случае двух точек разрыва
§ 3. Вычисление скачков оригинала по его изображению с помощью
метода Виддера
Приложение
Литература

ВВЕДЕНИЕ
Задача обращения преобразования Лапласа состоит в нахождении решения интегрального уравнения

Jexp (~pt)f(t)dt = F(p), (0.1)

где функция F(p) - известное изображение, /(t) - искомый оригинал. Соответствие между оригиналом и изображением будем обозначать f(t) +F(p). Будем считать, что функция Р(р) регулярна в полуплоскости Re {р) > 0, чего всегда можно добиться сдвигом по параметру р, что равносильно умножению оригинала на соответствующую экспоненту. Как правило, методы обращения используют не само изображение F(p), а
функцию Существуют таблицы [7, 8, 10] соответствия функций-оригиналов /(/) и их изображений F(p), но они не могут охватить все встречающиеся на практике случаи.
Точное обращение преобразования Лапласа задается формулой Рима-на-Меллина:
+ c+i
/(0 = Т— J exp {pt)F(p) dp, (0.2)

где интегрирование проводится вдоль любой прямой, расположенной правее всех особых точек изображения F{p). Зачастую она неприменима или сложна в применении для некоторых функций из-за необходимости вычисления интеграла (0.2). Поэтому возникает задача численного обраще-
Если, кроме того, функции фХр) регулярна при р + 1/( 2г) > 1/( 2г), то для значений 0 < /< р < / + г, погрешность £„(р) удовлетворяет неравенству:
|£л(0| * мрг&п(*)’ (2-4)
мр( =
І + рех
■р(^)]”1)
г«0) =

Ту . Ркп
Ц./+5') І=
X 1/

2 ( .

• (2.5)
В оценках погрешности (2.2), (2.4) первый сомножитель зависит только от изображения, а второй - только от квадратной формулы. Так как мы можем варьировать лишь выбором КФ, то наша задача состоит в изучении
поведения О'лСО» СТя(0 при возрастании числа узлов для конкретных квадратурных формул.
Наибольший интерес представляет изучение этих величин для КФНСТ, которые являются частным случаем КФ вида (2.1). Для КФНСТ в силу равенств (1.2) (при у = 0,1,..., 2п -1) в формулах (2.3) и (2.5) нижние пределы суммирования по и и у следует заменить на 2п. Далее в силу
вещественности коэффициентов многочлена Р^х) (см. их явный вид (1.3)), комплексные узлы КФНСТ попарно сопряжены, как и соответствующие им коэффициенты, и поэтому стоящие под знаком модуля в фор-